ÔN TẬP CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 1)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a. Chứng minh MN // (BCD).

b. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

a. Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy: MN // (BCD).

b. Vì MN // (BCD)

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó: d // (ABC).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Trả lời:

Vì (α)// AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có: OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có: MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.

Trả lời:

Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và cắt AC tại I

Qua M, I, N vẽ các đường thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD tại R, Q, P.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

Bài 4: a) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với?

b) Cho hai đường thẳng song song và . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với b?

Trả lời:

a) Theo định lý. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

b) Cho hai đường thẳng song song. Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Chứng minh d qua S và song song với .

Trả lời:

Ta có

Bài 6: a) Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M và cắt cả a và b?

b) Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

Trả lời:

a) Mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A. Khi đó đường thẳng duy nhất cần tìm là đường thẳng qua 3 điểm M, A, B .

b) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B , mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cần tìm.

Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).

Trả lời:

Ta có là hình thang và là trung điểm của nên .

Vậy

với .

Bài 8: Cho hình lăng trụ . Gọi là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .

Trả lời:

Gọi H’ là trung điểm của AB thì ta có:

Do đó

Bài 9: Cho hình chóp có và Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

a) (SAC) và (SBD).

b) (SAB) và (SCD).

Trả lời:

a) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng

b) Giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng .

Bài 10: a) Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ?

b) Trong mp, cho bốn điểm , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm . Có mấy mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên?

c) Cho 2 đường thẳng cắt nhau và không đi qua điểm . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ?

Trả lời:

a) Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là

b) Điểm cùng với hai trong số bốn điểm , , , tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên.

c) Có 3 mặt phẳng gồm .

Bài 11: Cho hình chóp đáy là hình thang ( là đáy lớn). Gọi lần lượt là trung điểm của .

a) Tìm giao tuyến và và .

b) Tìm giao điểm của và .

c) Tìm giao điểm của và .

d) Tứ giác IPKJ là hình gì?

Trả lời:

a) Do giao tuyến của và đi qua điểm và song song với và .

Giả sử với .

Ba mặt phẳng và lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là và nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác .

b) Do mà là trung điểm của . Khi đó là đường trung bình trong tam giác suy ra không cắt .

c) Chứng minh ở câu b, ta có trùng với tức là là trung điểm .

d) Có (chứng minh trên) suy ra tứ giác là hình thang.

Bài 12: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong tam giác .

Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình trong .

Ta có: .

b) Do và lần lượt là trung điểm của và nên .

Lại có .

Do vậy .

Bài 13: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC. Chứng minh rằng .

Trả lời:

Áp dụng tính chất đường trung bình: MN // AB, MP // AC.

Vậy .

Bài 14: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .

c) Gọi là giao điểm của và là điểm thuộc sao cho . Chứng minh .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong

Suy ra .

Tương tự ta có .

(hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau). b) Ta có: .

Lại có .

c) Do

Theo định lý Talet ta có:

Mặt khác: .

Do suy ra .

Bài 15: Cho hình chóp tứ giác với đáy có các cạnh đối diện không song song với nhau và là một điểm trên cạnh .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .

b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .

Trả lời:

a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong gọi.

Ta có và nên .

b) Trong gọi .

Trong gọi .

Ta có và nên .

Bài 16: Cho hình chóp , đáy là hình thang với là đáy lớn , là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng cắt cạnh tại . Khi đó, tỷ số bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi là trung điểm của

Ta có:

Suy ra, I là trung điểm của BM

Xét

Bài 17: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là các điểm lần lượt nằm trên sao cho

a) Chứng minh .

b) Gọi . Chứng minh .

c) Qua dựng các đường thẳng . Tìm và .

Trả lời:

a) Ta có:

Tương tự ta có và

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Hai mặt phẳng và có 2 điểm chung là và nên

Mặt khác 3 mặt phẳng và đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là

mà nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay .

c) Trong mặt phẳng , gọi

Trong mặt phẳng dựng cắt tại thì .

Tương tự trong mặt phẳng dựng cắt tại thì .

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm SA và SB.

Chứng minh MN // CD.

Trả lời:

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB

Lại có ABCD là hình thang nên AB // CD

Do đó: MN // CD.

Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Gọi J là giao điểm của AC và BD.

a. Chứng minh ME, NF, SJ đồng quy.

b. Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng.

Trả lời:

a.Trong (SAC) gọi I là giao điểm của ME và SJ.

Ta có: ME là đường trung bình của tam giác SAC nên ME // AC

Suy ra MI // AC, mà M là trung điểm của SA

Nên I là trung điểm của SJ.

Suy ra: FI là đường trung bình của tam giác SJD

Suy ra FI // JD

Tương tự có: NI // JB nên N, I, F thẳng hàng

Vậy ME, NF, SJ đồng quy tại I.

b. Do I là giao điểm của ME và NF nên ME và NF xác định một mặt phẳng

Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng.

Bài 20: Cho hình chóp là một điểm nằm trong tam giác . Qua dựng các đường thẳng lần lượt song song với và cắt các mặt phẳng theo thứ tự tại các điểm .

a) Chứng minh tổng có giá tri không đổi khi di động bên trong tam giác .

b) Xác định vị trí của để tích có giá trị lớn nhất.

Trả lời:

a) Gọi

Trong mặt phẳng , dựng cắt tại

Tương tự dựng cắt tại , dựng cắt tại .

Ta có: định lý Talet

Tương tự và

Khi đó

Vậy có giá trị không đổi khi di động bên trong tam giác .

b) Ta có

Do đó có giá trị lớn nhất là khi

Suy ra suy ra là trọng tâm tam giác .