ÔN TẬP CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 2)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a. Chứng minh MN // (BCD).

b. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

a. Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy: MN // (BCD).

b. Vì MN // (BCD)

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó: d // (ABC).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau.

Trả lời:

Đường thẳng AB và CD chéo nhau.

Đường thẳng AC và BD chéo nhau.

Đường thẳng AD và BC chéo nhau.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Trả lời:

Xét tam giác SAB có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB.

Từ đó suy ra IJ // AB.

Lại có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) nên từ đó ta có IJ // CD (vì cùng song song với đường thẳng AB).

Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O₁ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF, gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) OO₁ // mp (BEC).

b) OO₁ // mp (AFD)

Trả lời:

a) Xét tam giác ACE có O; O₁ lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành).

Suy ra OO₁ là đường trung bình trong tam giác ACE và OO₁ // EC.

Mà EC thuộc mp (BEC) nên OO₁ // mp (BEC) (đpcm).

b) Tương tự; OO₁ là đường trung bình của tam giác BFD nên OO₁ // FD.

Mà FD nằm trong mp(AFD)

Suy ra: OO₁ // mp (AFD) (đpcm).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Chứng minh:

a) M, N, O, P đồng phẳng.

b) mp(MON) // mp(SBC).

Trả lời:

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN // AD (1).

Và OP là đường trung bình của tam giác ABC nên OP // BC // AD (2).

Từ (1) và (2) suy ra MN // OP // AD nên 4 điểm M, N, O, P đồng phẳng.

Bài 6: a) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến trong đó song song với . Khi đó vị trí tương đối của và là gì?

b) Trong không gian, cho đường thẳng và điểm O không nằm trong . Qua O có mấy đường thẳng song song với ?

Trả lời:

a) Giả sử d₁ cắt d₂ tại M khi đó đường thẳng d₃ không nằm trong mặt phẳng (d₁; d₂) và cắt cả d₁ và d₂ nên d_3­ cắt mặt phẳng (d₁; d₂) tại M hay ba đường thẳng đó đồng quy.

b) Qua O không thuộc đường thẳng thì có duy nhất một đường thẳng song song với .

Bài 7: Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)).

Trả lời:

Vì phương chiếu d là SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, D’ (BB’ // AA’; CC’ // AA’; DD’// AA’). Vậy hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.

Bài 8: Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là một tam giác cân.

Trả lời:

Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.

Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’.

Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.

Bài 9: Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm thuộc cạnh .

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và

b) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và

c) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và

d) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và

Trả lời:

a) Gọi

Lại có .

b)

.

Và

c) Trong gọi

Và

d) Trong gọi , ta có .

Bài 10: Cho tứ diện . Trên và lấy các điểm và sao cho cắt tại , cắt tại , cắt tại . Chứng minh thẳng hàng.

Trả lời:

Ta có

.

Tương tự

Từ (1),(2) và (3) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.

Bài 11: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và .Chứng minh ; và .

Trả lời:

và lần lượt là trọng tâm các tam giác và nên , và đồng qui tại (là trung điểm của ) .

Vì nên và .

Do và nên

Bài 12: Cho tứ diện có . Mặt phẳng qua trung điểm của và song song với, . Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

Ta có: , là trung điểm .

, là trung điểm .

, là trung điểm .

Bài 13: Cho tứ diện ABCD. I là trọng tâm tam giác ABC. Xác định hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD).

Trả lời:

Gọi E là trung điểm AB. J là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có:

=> IJ // CD

=> Hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm J.

Bài 14: Trong mặt phẳng cho một tam giác bất kì. Chứng minh rằng có thể xem tam giác là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.

Trả lời:

Cho tam giác bất kì nằm trong mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng qua và khác với . Trong ta vẽ tam giác đều . Vậy ta có thể xem tam giác cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều theo phượng chiếu lên mặt phẳng .

Bài 17: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Gọi là trọng tâm của . Chứng minh rằng .
d) Gọi là trung điểm , chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra .

Lại có: là đường trung bình trong tam giác nên .

Do vậy .

b) Trong mặt phẳng gọi khi đó chính là giao điểm của và .

c) Dễ thấy lần lượt là trọng tâm tam giác do đó

.

d) Do và lần lượt là trung điểm của và nên (tính chất đường trung bình).

Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên .

Do vậy .

Bài 18: Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều. Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng đi qua và song song với lần lượt cắt các cạnh tại . Tìm dể diện tích bằng .

Trả lời:

Theo định lý Talet ta có:

Mặt khác

Suy ra và tứ giác là hình thang cân. Chiều cao hình thang cân này là

Diện tích hình thang là

.

Bài 19: Cho tứ diện và là các điểm thay trên các cạnh sao cho .

a) Chứng minh luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Cho và là một điểm trên cạnh . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt phẳng .

c) Tính theo tỉ số diện tích tam giác và diện tích hình tạo bởi các giao tuyến ở câu b.

Trả lời:

a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng .Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với thì cố định và suy ra luôn song song với cố định.

b) Xét trường hợp , lúc này nên .

Ta có:

.

Thiết diện là tứ giác .Xét trường hợp

Trong gọi

Trong gọi thì thiết diện là tứ giác .

Gọi

Ta có .

Do nên theo định lí Thales đảo thì lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại nên áp dụng định lí Thales ta được .

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi O là tâm của đáy. Tam giác SAB là tam giác đều. Gọi là điểm trên cạnh BC. Mặt phẳng đi qua và song song với . Hãy tìm giao tuyến của (P) với các mặt (ABCD), (SAD), (SCD), (SBC) của hình chóp.

Trả lời:

Qua kẻ một đường thẳng song song với , cắt tại .

Qua kẻ một đường thẳng song song với , cắt tại .

Gọi Quakẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác MNPQ.

Do nên

Đặt Có

Tương tự,

Từ (1) và (2) ta có là hình thang cân.