ÔN TẬP CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 3)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC, AC, BD. Chứng minh:

a) P, R, Q, S đồng phẳng

b) P, M, N, Q đồng phẳng.

c) M, R, N, S đồng phẳng.

Trả lời:

a) Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB. (1)

Tam giác ABC có RQ là đường trung bình nên RQ // AB (2).

Từ (1) và (2) suy ra PS // RQ nên 4 điểm P, R, Q, S đồng phẳng (đpcm).

b) Tương tự ý a, ta có được PM // NQ // BD

Suy ra 4 điểm P, M, N, Q đồng phẳng.

c) Ta có NR // AD // MS suy ra M, R, N, S đồng phẳng.

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, qua phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu (A’B’C’) theo phương CC’ biến M thành M’. Trong đó M là trung điểm của BC. Tìm vị trí điểm M’.

Trả lời:

Ta có phép chiếu song song lên mp(A’B’C’) theo phương chiếu CC’: biến C thành C’, biến B thành B’.

Do M là trung điểm của BC suy ra M’ là trung điểm của B’C’.

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm hình chiếu của điểm C trên mp(A’B’C’) theo phương chiếu DA’.

Trả lời:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên CD = A’B’ và CD // A’B’ (cùng song song C’D’)

⇒⇒ Tứ giác CDA’B’ là hình bình hành.

⇒⇒ DA’// CB’.

Do đó, hình chiếu của điểm C trên mp(A’B’C’) theo phương chiếu DA’ là điểm B’.

Bài 4: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành.

Trả lời:

Cho tứ diện SABC. Trên mặt phẳng (ABC), dựng điểm D để ABCD là hình bình hành.

Khi đó qua phép chiếu song song đường thẳng SD và mặt phẳng chiếu (ABC) biến tứ diện SABC thành hình bình hành ABCD.

Bài 5: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).

Trả lời:

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC//AD, suy ra BC//(ADF).

Vì tứ giác ABEF là hình bình hành nên BE//AF, suy ra BE//(ADF).

Mặt phẳng (BCE) chứa hai đường thẳng cắt nhau BCvà BE cùng song song với mặt phẳng (ADF) nên mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).

Bài 6: Cho tứ diện. và theo thứ tự là trung điểm của và, là trọng tâm tam giác. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng nào ?

Trả lời:

Gọi là giao tuyến của và .

Ta có , , , .

Suy ra đi qua và song song với .

Bài 7: Cho hình bình hành và một điểm không nằm trong mặt phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là một đường thẳng song song với đường thẳng nào?

Trả lời:

Xét (SAB) và (SCD) có S là điềm chung

Bài 8: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm , là trung điểm cạnh . Chứng minh:

a) .

b) .

Trả lời:

1. Ta có

1. Ta có:

.

Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.

a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Trả lời:

Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD:

- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD).

- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I.

Trong tam giác IAB, ta có:

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.

Bài 10: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.

Trả lời:

Gọi là trung điểm của cạnh .

Hình chiếu của là trung điểm của (h.2.18).

nên

nên .

Vậy là trọng tâm tam giác .

Bài 11: Hãy vẽ hình biểu diễn của một đường tròn cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó.

Trả lời:

Giả sử trên hình thực ta có đường tròn tâm cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó là và . Nếu ta vẽ thêm một dây cung song song với thì đường kính sẽ đi qua trung điểm của đoạn . Từ đó ta suy ra cách vẽ sau đây :

a) Vẽ hình elip biểu diễn cho đường tròn và vẽ đường kính của hình elip đó. Đường kính này đi qua tâm của elip.

b) Vẽ một dây cung song song với đường kính . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng cắt elip tại hai điểm và . Ta có và là hình biểu diễn của hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.

Nhận xét. Hình bình hành là hình biểu diễn của hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Bài 12: Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng đi qua cắt lần lượt tại . Một mặt phẳng đi qua cắt tương ứng tại và . Gọi . Chứng minh thẳng hàng.

Trả lời:

Ta có , (1)

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.

Bài 13: Cho tứ diện , là một điểm thuộc miền trong tam giác , là điểm trên đoạn .

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .

c) Gọi là các điểm tương ứng trên các cạnh và sao cho không song song với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Trả lời:

a) Trong gọi , trong gọi

Lại có .

b) Tương tự, trong gọi , trong gọi

là điểm chung thứ hai của và nên .

c) Trong gọi , ; trong gọi .

Có ,

Mà

Bài 14: Cho hình chóp đáy là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và và .

b) Lấy thuộc . Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?

Trả lời:

a) Trong dựng đường thằng đi qua và song song với .

Ta có: .

Suy ra thuộc .

Nên là giao tuyến của và .

Tương tự, trong dựng đường thẳng đi qua , song song với thì là giao tuyến của với .

b) Giả sử

Xét ba mặt phẳng lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mà là hình thang.

Bài 15: Cho hình chóp , đáy là bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của , .

a) Tìm giao tuyến của và .

b) Tìm giao điểm của và .

c) Tìm giao điểm của và .

d) Tìm giao tuyến của và

Trả lời:

a) Do (tính chất đường trung bình) nên giao tuyến của và phải là .

Do đó qua và song song với nên là đường trung bình tam giác . Gọi là trung điểm thì là giao tuyến cần tìm.

b) Ta có

Suy ra là giao điểm của và .

c) Trong , gọi là giao điểm của và .

Ta có

Vậy là giao điểm của với .

d) Gọi là giao điểm của và .

Trong có là đường trung bình tam giác .

Gọi

Bài 16: Cho hình hôp .

a) Hãy xác định đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và đồng thời song song với .

b) Goi I, J lần lượt là giao điểm của với AC₁ và BA₁. Tính tỉ số .

Trả lời:

a) Giả sử đã xác định được đường thẳng cắt và lần lượt tại và .

Xét phép chiếu song song lên theo phưong chiếu . Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng lần lượt là ba điểm thẳng hàng . Mặt khác thuộc , nên chính là gịao điểm của và .

Ta dựng đường thẳng theo các bước sau:

- Dựng điểm K là hình chiếu của C₁ (theo phương chiếu D₁B₁).

- Lấy giao điểm J của AK và BA₁.

- Qua J dựng đường thẳng (đã có // ta được đường thẳng cần tìm.

b) Dễ thấy (do )

Vì

.

Mặt khác

.

Bài 17: Cho hình hộp Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Xác định đường thẳng qua cắt và cắt .
b) Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Hãy tìm tỉ số .

Trả lời:

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cần tìm cắt cả và . Gọi lần lượt là giao điểm của với và .

Xét phép chiếu song song lên theo phương chiếu . Khi đó ba điểm lần lượt có hình chiếu là và . Do đó ba điểm thẳng hàng.

Gọi là hình chiếu của thì là hình chiều-của . Vì thuộc nên thuộc . Vậy là giao điểm của và .

Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng theo các bước sau đây :

• Lấy giao điểm của ’ và .

• Trong dựng (đã có ) cắt tại II.

• Vẽ đường thẳng , đó là đường thẳng cần tìm.

Dễ chứng minh được, đường thẳng nói trên cắt .

b) Dễ thấy '

suy ra: .

Do đó là trung điểm của .

Mặt khác // , nên là đường trung bình của tam giác , suy ra

Bài 18: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao tuyến và .
c) Tìm giao tuyến của và . Suy ra giao điểm của và . d) Gọi . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong tam giác nên .

Tương tự là đường trung bình trong tam giác nên .

Do vậy .

b) Do nên giao tuyến của và đi qua và song song với và .

c) Gọi .

Do nên giao tuyến của và đi qua và song song với .

Trong mặt phẳng gọi .

d) Ta có: do đó lần lượt là trọng tâm tam giác và

Khi đó .

Bài 19: Cho hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . Các điểm lần lượt trên sao cho .

a) Chứng minh khi biến thiên, đường thẳng luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh khi thì .

Trả lời:

a) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Giả sử cắt tại điểm .

Theo định lí Thales ta có

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh nên .

Từ ta có , mà .

Mà .

Vậy luôn song song với mặt phẳng cố định .

b) Gọi . Ta có

suy ra là trọng tâm của tam giác .

Tương tự là trọng tâm của tam giác .

Gọi là trung điểm của ta có .

Bài 20: Cho tứ diện đều có các cạnh bằng . Gọi là trung điểm , là điểm thuộc cạnh sao cho là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng của hình chóp theo .

Trả lời:

Trong mp , gọi .

Trong mp, gọi .

Khi đó .

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý cosin vào tam giác ta có: