ÔN TẬP CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 4)

Bài 1: Hình thang có thể là hình biểu diễn của hình bình hành không?

Trả lời:

Hình thang không thể là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song trong khi đó cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song.

Bài 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không ? Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không ?

Trả lời:

Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là và . Nếu mặt phẳng và mặt phẳng song song với nhau thì . Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song.

Nếu và là hai đường thẳng cắt nhau tại và hình chiếu của là thì và tức là và có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được.

Bài 3: Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Trả lời:

Với hình lục giác đều ta nhận thấy :

• Tứ giác là hình bình hành (vừa là hình thoi) ;
• Các điểm lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm qua tâm O.

Từ đó ta suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều như sau :

- Vẽ hình bình hành biểu diễn cho hình bình hành .

- Lấy các điểm lần lượt đối xứng của qua tâm , ta được hình biểu diễn của hình lục giác đều .

Bài 4: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi là trung điểm của là một điểm trên và cách đều . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có và lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình trong

Tương tự là đường trung bình trong tam giác nên .

Lại có: .

b) Ta có và lần lượt là trung điểm của và thì là đường thẳng cách đều và do vậy điểm , Do là đường trung bình của nên .

Ta có:

Mặt khác .

Bài 5: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và , lấy điểm .
a) Tìm giao tuyến và .
b) Tìm giao điểm và .
c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt bên của hình chóp và mặt phẳng (MNP) là hình gì?
d) Gọi . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Do song song với nên giao tuyến của và là đường thẳng đi qua và song song với và .

b) Trong măt phẳng , kéo dài cắt tại , trong mặt phẳng , kéo dài cắt tại , giao điểm của và là .

c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác .

Do 3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến là nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác là hình thang.

d) Ta có: là đường trung bình trong tam giác .

Tương tự ta có: .

Mặt khác .

Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình của hình bình hành nên .

Lại có là đường trung bình tam giác .

Từ và suy ra .

b) Gọi là trung điểm của thì .

Mặt khác là đường trung bình của tam giác nên .

Ta có .

c) Trong mặt phẳng gọi .

Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng và song song với .

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song Với .

d) Gọi là trung điểm của thì (tính chất đường trung bình)

Suy ra đồng phẳng.

Trong mặt phẳng gọi .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là .

Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang ABCD (AB//CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) và

b) và

Trả lời:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

, là hai điểm chung của và nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC.

, là hai điểm chung của và nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng

Bài 8: Cho tứ diện . Gọi M. N lần lượt là trung điểm và . Mặt phẳng qua cắt và lần lượt tại P ,Q. Biết cắt NQ tại . Chứng minh I, B, D thẳng hàng.

Trả lời:

Ta có MP cắt NQ tại I

.

.

.

Vậy , , thẳng hàng.

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác , là một điểm trên cạnh , là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Trả lời:

Trong mặt phẳng gọi .

Trong gọi và .

Ta có .

Do đó .

Vậy

Bài 10: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, gọi lần lượt nằm trên , sao cho .

a) Chứng minh rằng: .

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: .

Trả lời:

a) Ta có:

Lại có: (2). (Định lý Ta-let)

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Xét 3 mặt phẳng và cắt nhau theo các giao tuyến là .

Suy ra song song hoặc đồng quy.

Mặt khác .

Bài 11: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của .

a) Chứng minh là hình bình hành.

b) Từ đó suy ra ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Trả lời:

a) Vì là đường trung bình của tam giác nên ta có

Tương tự ta cũng có:

Do vậy là hình bình hành từ đó suy ra và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có suy ra và cũng cắt nhau tại trung điểm của .

Vậy ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Bài 12: Cho hình chóp , có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Chứng minh:

b) Tìm giao điểm của với . Kéo dài và cắt nhau tại .

Chứng minh . Tứ giác là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên mặt khác .

b) Gọi và khi đó cắt tại .

Xét 3 mặt phẳng và có các giao tuyến chung là và song song hoặc đồng quy.

Do nên .

Ta có:

Khi đó: là hình bình hành.

Bài 13: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành.

Trả lời:

Cho tứ diện . Gọi là một đường thẳng không song song với các cạnh của tứ diện và là một mặt phẳng cắt . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên mặt phẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện và . Khi đó hình chiếu và của và sẽ lần lượt là trung điểm của và .

Muốn cho là các đỉnh của một hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu sao cho song song với đường thẳng .

Vậy để hình chiếu song song của một tứ diện là một hình bình hành ta có thể chọn :

• Phương chiếu là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện cho trước ;
• Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng tuỳ ý, nhưng phải cắt đường thẳng .

Bài 14: Vẽ hình chiếu của hình hộp lên một mặt phẳng theo phương chiếu không song song với .

Trả lời:

Chọn mặt phẳng chiếu qua và không chứa . Gọi là tâm của hình hộp. Khi đó hình chiếu của các điểm là điểm .

Hình chiếu của đoạn thẳng là đoạn thẳng nhận làm trung điểm.

Hình chiếu của đoạn thẳng là đoạn thẳng nhận làm trung điểm.

Hình chiếu của đoạn thẳng là đoạn thẳng nhận làm trung điểm.

Vậy hình chiếu của hình hộp lên theo phương chiếu là lục giác có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Bài 15: Cho hình hộp . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm và không trùng với các đính của hình hộp. Trong hình bình hành lấy một điểm . Hãy xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của hình hộp với .

Trả lời:

Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Gọi là hình chiếu song song của trên theo phương chiếu . Khi đó cắt tại . Vì thuộc nên cắt tại . Goi là giao điểm của với . Nối với cắt và lần li̛ợt tại và .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Bài 16: Cho hình lập phương cạnh . Gọi là trung điểm của là tâm hình vuông . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (ABCD), (A’ABB’), (A’D’DA), (CDD’C’) với mặt phẳng .
Trả lời:

Gọi thì là trung điểm của , nối cắt và lần lượt tại các điểm và . Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Do nên là trọng tâm tam giác nên

Ta có:

Lại có: nên

(Áp dụng hệ thức Herong cho tam giác EGC)

Suy ra .

Bài 17: Cho hình chóp đáy là hình thang, đáy lớn . Mặt bên là tam giác đều. Mặt phẳng qua điểm trên cạnh và song song với các cạnh và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Đặt . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (SAB), (ABCD), SCD), SBC) với mặt phẳng Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

Trả lời:

qua điểm và song song với các cạnh

suy ra .

Hình tạo bởi các giao tuyến là: MQPN.

Ta có mà

Suy ra

Do đó và

Lại có

Ta có : và

Gọi là trung điểm của

Trong đó .

Chiều cao hình tạo bởi các giao tuyến là:

Diện tích

Lại có:

Do đó .

Bài 18: Cho hình chóp với đáy là hình thang với đáy và . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh

a) và song song với nhau.

b) và song song với nhau.

c)

Trả lời:

a) Ta có , suy ra .

Do

.

Ta có: , suy ra .

Do

.

Từ đó suy ra và song song với nhau.

b) Ta có:

.

Suy ra .

c) Gọi là giao điểm của với .

Do

.

Theo định lý Thalet ta có: . Do song song với nên theo định lý Thalet ta có :

.

Tương tự ta cũng có:

.

Từ đây suy ra

.

Bài 19: Cho hai đường thẳng và " chéo nhau. Trên đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau và ở giữa và ) ; trên ' đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau và ở giữa và . Chứng minh rằng

Trả lời:

Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với . Theo định lí Ta-lét, ta cũng có . Xét phép chiếu song song lên theo phương chiếu , ta được hình chiếu của tương ứng là . Khi đó ba điểm thẳng hàng.

Ta có và vì nên giao tuyến của với song song với . Do đó tứ giác là hình bình hành, nên .

Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được . Ta phải chứng .

Thật vậy, vì là trung điểm của nên là trung điểm của cạnh của tam giác . Từ đó dễ thấy tổng hai cạnh và trong tam giác Iớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.

Bài 20: Cho hình hộp . Trên cạnh lấy điểm khác và . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng . Đặt . Tìm để hình tạo bởi các giao tuyến các mặt của hình hộp với mặt phẳng có diện tích lớn nhất.

Trả lời:

Ta có:

Ta dựng

Dựng (xem hình vẽ)

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Giả sử , tứ giác đều là các hình thang cân.

Ta có:

+)

+)

Ta có:

Tương tự ta có:

Do đó diện tích là đạt giá trị lớn nhất khi