ÔN TẬP CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC (PHẦN 2)

Bài 1: Tính giới hạn sau bằng định nghĩa

Trả lời:

Với mọi dãy và ta có: .

Bài 2: Tính giới hạn sau bằng định nghĩa

Trả lời:

Với mọi dãy và ta có: .

Bài 3: Tính giới hạn sau

a)

b)

Trả lời:

a)

b)

Bài 4: Tính

a)

b)

c)

Trả lời:

a)

b)

vì và .

c)

Vậy không tồn tại giới hạn trên.

Bài 5: a) Tính

b) Tính .

c) Tính

Trả lời:

a)

b)

c)

Bài 6: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

b)

c)

Trả lời:

b) Đặt liên tục trên R

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

c) Đặt liên tục trên R

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a)

b)

Trả lời:

a)

Do đó, hàm số này liên tục tại

b)

Mà khi nên

Do đó, hàm số đã cho liên tục khi

Bài 8: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

a)

b)

Trả lời:

a) Xét

tồn tại một số sao cho

tồn tại một số sao cho

Từ đó luôn tồn tại một số nên phương trình luôn có nghiệm.

b) Xét liên tục trên

Ta có:

tồn tại một số sao cho .

Từ đó nên luôn tồn tại một số thỏa mãn nên phương trình luôn có nghiệm.

Bài 9: Tính giới han của dãy số

Trả lời:

Ta có:

Bài 10: Tính giới han của dãy số

Trả lời:

Ta có:

Mà:

Vây .

Bài 11: Cho dãy được xác đinh như sau:

Tìm với .

Trả lời:

Ta có: nên

Suy ra

Mà:

Mặt khác:

Vậy .

Bài 12: Cho dãy số xác đinh bời

Đăt . Tính .

Trả lời:

Từ công thức truy hồi ta có:

Nên dãy là dãy số tăng.

Giả sử dãy là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim

Với là nghiệm của phưong trình: vô lí

Do đó dãy không bi chặn, hay .

Mặt khác:

Suy ra:

Dẫn tới:

Bài 13: Tính giới han của dãy số

Trả lời:

Ta có:

Bài 14: Tính giới hạn

a)

b)

Trả lời:

a)

b)

Bài 15: Tính giới hạn

a)

b)

Trả lời:

a) Ta có: .

b)

Bài 16: Tính giới hạn

a) .

b)

Trả lời:

a) Ta có

.

b) Ta có:

Mà và

Nên .

Bài 17: Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa

a)

b)

Trả lời:

a) Với số thực a> 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

Vậy .

b) Với số thực nhỏ tùy ý, ta chọn thỏa

Ta có: .

Bài 18: Tính giá trị

a)

b)

Trả lời:

a) Ta có: .

b) Ta có:

Bài 19: Tính giới hạn

a)

b)

Trả lời:

a) Ta có: .

b) Ta có:

.

Bài 20: Tìm giới hạn :

Trả lời:

Ta có:

Do đó: