ÔN TẬP CHƯƠNG 6. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT (PHẦN 2)

Bài 1: Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1. Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ và phương trình có hai nghiệm phân biệt x₃,x₄ thỏa mãn (x₁ + x₂)(x₃ + x₄) < 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3a + 2b.

Trả lời:

Với , lấy logarit cơ số a hai vế ta được:

x² + 1 = xlog_ab ⇔ x² - xlog_ab + 1 = 0

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt, khi đó

Δ = (log_ab)² - 4 > 0 ⇔ log_ab > 2 ⇔ b > a².

Tương tự ⇔ x² - 1 = xlog_b(9a) => Δ = (log_a(9a))² + 4 > 0

Khi đó theo Vi-ét ta có

Vì vậy b > 16 => S > 3.4 + 2.17 = 46.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3^x = mx + 1 có hai nghiệm phân biệt?

Trả lời:

Ta có: 3^x = mx + 1 là phương trình hoành độ giao điểm của y = 3^x và y = mx + 1.

Ta thấy y = mx + 1 luôn đi qua điểm cố định (0,1) nên

+ Nếu m < 0 thì y = mx + 1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y = 3^x tại một điểm duy nhất.

+ Nếu m > 0 thì để đồ thị hàm số y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = 3^x tại hai điểm phân biệt thì phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3^x tại điểm (0,1), tức là m ≠ ln3.

Vậy

Bài 3: Số nghiệm của phương trình log(x-1)² = 2 .

Trả lời:

Điều kiện (x-1)² > 0 ⇔ x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1

Ta có log(x-1)² = 2 = log10² ⇔ (x-1)² = 100

⇔ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Bài 4: Số nghiệm của phương trình log₂[x(x - 1)] = 1

Trả lời:

Điều kiện xác định: x(x - 1) > 0 ⇔

pt ⇔ x(x - 1) = 2 ⇔ x² - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Bài 5: Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình log₂[x(x + 3)] = 1. Khi đó x₁ + x₂ bằng bao nhiêu.

Trả lời:

Điều kiện:

log₂[x(x + 3)] = 1 ⇔ x(x + 3) = 2 ⇔ x² + 3x - 2 = 0

⇔ (thỏa mãn)

Vậy x₁ + x₂ = -3

Bài 6: Tìm tập xác định của hàm số

Trả lời:

Điều kiện:

Tập xác định:.

Bài 7: Tìm tập xác định của hàm số

Trả lời:

Tập xác định của hàm số là R.

Bài 8: Nhận biết khái niệm căn bậc n

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 9.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = − 27.

Trả lời:

a) Ta có 9 = 3² = (– 3)². Do đó, x² = 9, suy ra x² = 3² = (– 3)². Vậy x = ± 3.

b) Ta có: − 3 = (− 3)³. Do đó, x³ = − 27, suy ra x³ = (− 3)³. Vậy x = − 3.

Bài 9: Rút gọn biểu thức:

P =

Trả lời:

P =

= =1

Bài 10: Biểu thức P = . (x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?

Trả lời:

Ta có

P =

Bài 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Trả lời:

Để hàm số có tập xác định R khi và chỉ khi

Bài 12: Hàm số

Trả lời:

Yêu cầu bài toán

Vậy

Bài 13: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

Giá trị của

Trả lời:

Đặt

Vậy

Do đó

Bài 14: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn

Trả lời:

Ta có

Hay

Vậy

Bài 15: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1

năm với lãi suất 7,65%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm, ông A thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu triệu đồng?

Trả lời:

Số tiền mà ông A thu về sau 5 năm là

A = triệu đồng

Bài 16: Một người có 10 triệu đồng gửi vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng (1 quý

là 3 tháng), lãi suất 6% / 1 quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi cộng vào gốc). Sau đúng 3 tháng, người đó gửi thêm vào 20 triệu đồng cùng với hình thức lãi suất như vậy. Hỏi sau 1 năm, tính từ lần gửi đầu tiên, người đó nhận được số tiền là bao nhiêu?

Trả lời:

Sau quý thứ nhất, số tiền trong tài khoản của người đó là:

triệu đồng (do người đó gửi thêm vào 20 triệu).

Sau quý thứ hai số tiền có trong tài khoản của người đó là

triệu đồng.

Sau 1 năm số tiền người đó thu được là

36, 445 triệu đồng

Bài 17: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/ năm.

Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

Trả lời:

Lãi suất 12%/ năm nên mỗi tháng lãi suất là 1% một tháng.

Mỗi tháng số tiền ông A phải trả là:

=

Bài 18: Ông An gửi gói tiết kiệm tích lũy cho con tại một ngân hàng với số tiền

tiết kiệm ban đầu là 200.000.000 VNĐ, lãi suất 7%/ năm. Từ năm thứ hai trở đi,

mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20.000.000 VNĐ. Ông không rút

lãi định kỳ hàng năm. Biết rằng, lãi suất định kỳ hàng năm không thay đổi. Hỏi sau 18 năm, số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?

Trả lời:

Sau năm thứ nhất số tiền mà ông An nhận được là 200.(1+7%) = 214 triệu đồng.

Đầu năm thứ hai, ông An gửi vào 20 triệu, nên đến cuối năm 2 số tiền ông nhận

được là (214 + 20).(1+7%) triệu đồng.

Đầu năm thứ 3, ông An gửi vào 20 triệu đồng, nên đến cuối năm thứ 3, số tiền ông nhận được là:

Đầu năm thứ 4, ông An gửi vào 20 triệu đồng nên đến cuối năm thứ 4, số tiền ông nhận được là:

riệu đồng.

....

Sau năm thứ 18, số tiền ông An nhận được là

A =

= triệu đồng.

Bài 19: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong ba năm đầu tiên là 6 triệu đồng/tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu?

Trả lời:

Ta coi bài toán như bài toán lãi kép với r = 10%/3 năm, A = 6 triệu,

Áp dụng công thức của bài toán lãi suất kép:

Bài 20: Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi

công thức (Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là L_A = 3 Ben và L_B = 5 Ben. Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

Trả lời:

L_A = L_B =

Giả sử I là trung điểm AB.

.