BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Trong không gian cho đường thẳng và điểm . Qua có mấy đường thẳng vuông góc với Ä cho trước?

Trả lời:

Qua điểm có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với , các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với .

Bài 2: Qua điểm cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước?

Trả lời:

Qua điểm cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước?

Bài 3: Cho hình chóp có và tam giác vuông tại . Vẽ , . Điểm H nằm ở vị trí nào?

Trả lời:

Do nên . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà vuông tại nên là trung điểm của .

Bài 4: Cho hình chóp thỏa mãn. Tam giác vuông tại. Gọi là hình chiếu vuông góc của lên. Tìm giao của mặt phẳng (SAH) và mặt phẳng (SCH).

Trả lời:

Bài 5: Cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau . Gọi là hình chiếu của lên mặt đáy .

Chứng minh .

Trả lời:

Vì hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

và là hình chiếu của lên mặt đáy

Nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra .

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).

Trả lời:

Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA ⊥ (ABC). Suy ra SA ⊥ BC.

Tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ BA.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC ⊥ (SAB)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD. Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

Trả lời:

Vì ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD.

Từ SA = SC và SB = SD, ta có

Tương tự, từ SA = SC và SB = SD, ta có

Do đó,

Mà

Từ đó suy ra ⊥ (ABCD).

Bài 3: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có nên .

Do đó

Bài 4: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và . Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có

Vậy

Bài 5: Cho tứ diện có và . Chứng minh .

Trả lời:

Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có và Số các mặt của tứ diện là tam giác vuông là bao nhiêu?

Trả lời:

Có là tam giác vuông tại

Ta có là các tam giác vuông tại

Mặt khác là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Biết và . có vuông góc với hay không?

Trả lời:

Tam giác cân tại có là trung tuyến

cũng là đường cao .

Tam giác cân tại có là trung tuyến

cũng là đường cao .

Từ đó suy ra .

Do là hình thoi nên không vuông góc với . Do đó không vuông góc với .

Bài 3: Cho tứ diện thoả mãn Gọi là hình chiếu của lên mp Đối với ta có điểm nằm ở đâu?

Trả lời:

Xét ba tam giác vuông có

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp

Bài 4: Cho hình chóp có Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác và. Chứng minh

Trả lời:

Ta có

Ta có

Mặt khác có hay , tương tự nên

Gọi là giao điểm của và . Do hay đường thẳng trùng với đường thẳng . Hay đồng quy.

Do đó

Bài 5: Cho hai hình chữ nhật và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Gọi và lần lượt là đường cao của hai tam giác và . Chứng minh rằng vuông tại .

Trả lời:

Ta có

..

Vậy

, hay vuông tại .

Tương tự

vuông tại .

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương. Gọi là góc giữa và mp Tính tan.

Trả lời:

Gọi

mà là hình chiếu vuông góc của lên

là góc giữa và Mà

Bài 2: Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Tìm vị trí của H.

Trả lời:

Do hình chóp có và nên là trục của hình chóp .

. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cạnh huyền . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm . Biết . Tính số đo của góc giữa và .

Trả lời:

Có nên là hình chiếu của lên

.

Áp dụng định lý Pytago

Xét tam giác có

.

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và . Gọi là trọng tâm . Tính độ dài

Trả lời:

Theo bài ra hình chóp là hình chóp tam giác đều. Gọi là trung điểm của , ta có .

Mặt khác ta có:

Bài 5: Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác đều cạnh là điểm trên sao cho là mặt phẳng qua và vuông góc với Thiết diện của và tứ diện có diện tích bằng?

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

Theo bài ra .

Kẻ Thiết diện của và tứ diện là

là hai tam giác đều cạnh là tam giác đều cạnh là tam giác đều cạnh