BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Tìm góc giữa đường thẳng SC và đáy.
Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC, cho nên:

.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Tìm góc giữa đường thẳng SB và đáy.

Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) là AB, cho nên:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc nào?

Trả lời:

Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA

Khi đó hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB, cho nên:

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD).

Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABCD) là AC, cho nên:

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định góc giữa đường thẳng A’C’ và mặt phẳng (ABCD).

Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABCD) là AC, cho nên:

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh đáy bằng a.

Gọi H là tâm của đáy ⊥ (ABC).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) là AH nên

Gọi M là trung điểm của BC

.

Bài 2: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có và AA’ = 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC’ và (ABC) bằng?

Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của AC’ lên đáy (ABC) là AC, cho nên

.

Trong tam giác vuông ACC’ ta có:

Bài 3: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC thỏa mãn AB = . Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của SB lên đáy (ABC) là AB, nên

Trong tam giác vuông SBA ta có:

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng?

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD SO ⊥ (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là OA, nên:

Ta có

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = 2 và

Góc giữa đường thẳng CA’ và mặt phẳng (ABCD) bằng?

Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của A’C lên đáy ABCD là AC, cho nên:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC ta có:

Trong tam giác vuông ACA’ có:

Vậy góc giữa đường thẳng AC và đáy là

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với ABCD lấy điểm S. Biết góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) có số đo bằng 45. Tính độ dài SO.

Trả lời:

ABCD là hình vuông cạnh 2a

Ta có: SO ⊥ (ABCD) là hình chiếu của

Vậy góc giữa và chính là = 45

Xét tam giác ta có

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của . Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là?

Trả lời:

Ta có:

BH ⊥ AC (gt); BH ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Mà BK ⊥ SC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

Do là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC). Vậy là hình chiếu của SH lên mp (ABC) . Ta có: . SH ⊥ (ABC) Mà . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a . Tính góc là góc giữa SC và (ABCD).

Trả lời:

Vì SA ⊥ (ABCD) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Suy ra góc giữa SC và mp (ABCD) bằng góc giữa SC và AC . Xét tam giác SAC vuông tại A có: .

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi là góc giữa AC’ và (A’BCD’. Chọn khẳng định đúng:

Trả lời:

Gọi

là hình chiếu vuông góc của AC’ lên (A’BCD’

là góc giữa AC’ lên (A’BCD’)

Mà

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Gọi là góc giữa và , là góc giữa và . Giá trị bằng?

Trả lời:

Để xác định góc giữa và ta xác định hình chiếu của lên mặt phẳng . Ta có: là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên vì.

Vậy là hình chiếu của trên .

vuông tại .

Kẻ tại mà nên .

là hình chiếu vuông góc của trên .

vuông nên .

vuông tại .

Vậy .

Bài 2: Cho hình chóp đều, đáy có cạnh bằng và có tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của ,. Biết góc giữa và bằng . Tính góc giữa và .

Trả lời:

Gọi là trung điểm của là đường trung bình của

Góc giữa và bằng góc .

Áp dụng định lý cosin cho ta có:

Trong tam giác vuông ta có :

và .

Gọi là trung điểm .

Mà do đó .

Ta có : , (tính trên)

Vậy trong ta có: . Nên nếu gọi là góc giữa và thì: hay .

Bài 3: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng và . Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính theo .

Trả lời:

Gọi là trung điểm , là chân đường cao hạ từ .

Ta có .

vuông tại nên:

.

Trong tam giác vuông ta có:

.

Góc giữa cạnh bên và đáy là .

Bài 4: Cho hình chóp đều. Thiết diện qua đỉnh và vuông góc với cạnh bên có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính .

Trả lời:

Đặt cạnh đáy hình vuông là .

Giả sử thiết diện qua là cắt , , lần lượt tại , , .

Theo giả thiết .

Mặt khác: (vì ) .

.

(vì ; với ).

.

.

Ta có .

Bài 5: Cho hình chóp đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy, . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Trả lời:

Gọi là hình chiếu của lên (vì góc tù nên nằm ngoài ). Ta có: .

Ta có:

.

.