BÀI 25. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau và một điểm không thuộc và . Qua có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với và ?

Trả lời:

Qua dựng đường thẳng vuông cóc với và . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 2: Hình hộp là hình hộp gì nếu tứ diện có các cạnh đối vuông góc?

Trả lời:

Ta có suy ra Hình hộp là hình lập phương.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thoi tâm cạnh bằng và góc , cạnh và vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác kẻ tại . Tính số đo góc .

Trả lời:

Ta có ; .

với là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên .

Bài 4: Cho tứ diện đều . Góc giữa và bằng . Tính .

Trả lời:

Đặt . Gọi là trung điểm của .

Tam giác đều cạnh nên và .

Tam giác đều nên và .

Do đó, .

Tam giác có .

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

Trả lời:

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng là có đường cao .

Ta có: . Gọi là trung điểm .

Dễ chứng minh được và .

Từ giả thiết suy ra là tam giác đều cạnh có là đường trung tuyến .

.

2. THÔNG HIỂU (7 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với mặt phẳng , tam giác vuông cân ở và có đường cao . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có .

.

Mặt khác, nên .

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh và có góc . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm và là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là?

Trả lời:

đều nên . Mặt khác (1).

Do (2).

Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa và bằng

Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và có . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Gọi là chân đường vuông góc của xuống mặt phẳng đáy ()

Þ các hình chiếu: Þ là tâm đường tròn

Mà tam giác cân tại (vì ) Þ tâm phải nằm trên Þ

Vậy có

nên góc .

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều , có đáy là hình vuông tâm . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng . Gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Gọi là trung điểm . Có ;

. Do đó

Bài 5: Cho hình chóp có và , gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc nào?

Trả lời:

Ta có:

.

Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm . Biết , và đường tròn ngoại tiếp có bán kính bằng . Gọi là góc hợp bởi mặt bên với đáy. Khi đó

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

Khi đó

.

Ta có: .

.

Bài 7: Trong không gian cho tam giác đều và hình vuông cạnh nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Ta có của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Ta có:

Gọi với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì là trung điểm của (vì )

(theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó: là góc giữa và

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét vuông tại có: .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương . Tính góc là góc giữa hai mặt phẳng và .

Trả lời:

là góc giữa hai mặt phẳng và là

Ta có

Bài 2: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

Trả lời:

Gọi là trung điểm của khi đó

Góc giữa hai mặt của tứ diện bằng

Ta có

Trong tam giác có :

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có . Tính cos góc giữa và .

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều là . Gọi là trung điểm của ta có (vì tam giác đều) và (vì tam giác đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc .

Ta có : (đường chéo hình vuông), (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc trong tam giác ta có :

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và góc . Các cạnh đều bằng . Gọi là góc của hai mặt phẳng và . Giá trị bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Do và nên tam giác đều.

Gọi là hình chiếu của lên .

Do nên là tâm đường tròn ngoại tiế tam giác .

Ta có:
.

Mặt khác, ,

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật có ,. Gọi là góc giữa đường chéo và đáy. Tính .

Trả lời:

Từ giả thiết ta suy ra: là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

4. VẬN DỤNG CAO (7 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

Trả lời:

+ Vì và hay là hình chiếu vuông góc của lên .

+ Gọi , lần lượt là trung điểm của , .

Vì là tam giác đều cạnh nên dễ tính được : .

Từ giả thiết suy ra là trọng tậm .

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Trả lời:

Giả sử hình chóp đã cho là có đường cao .

Ta có: .

Gọi là trung điểm của dễ chứng minh được và .

.

Mặt khác:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại , ta có :

.

Bài 3: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

Trả lời:

Giả sử tứ diện đều đã cho là có cạnh .

Ta có: .

Gọi là trung điểm . Khi đó dễ dàng chứng minh được và .

.

Ta dễ tính được: .

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác ta có:

.

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có: (vì )

Trong mặt phẳng , kẻ thì ta có

Khi đó

Trong tam giác , kẻ đường cao thì

Mà là trung điểm và nên

Tam giác vuông tại có

Vậy hai mặt phẳng và hợp với nhau một góc .

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . , . Xác định để hai mặt phẳng và tạo với nhau góc .

Trả lời:

Trong dựng ta chứng minh được (1)

Trong dựng ta chứng minh được (2)

Từ (1) và (2) Þgóc

* Ta chứng minh được . Do đó, nếu góc thì đều Þ

vuông tại có là đường cao

Þ Þ (3)

Và có Þ (4)

Ta chứng minh được Þ Þ (5)

Thế (3) và (5) vào Þ Û Û Û Û

Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm Biết và đường tròn nội tiếp có bán kính bằng Tính góc hợp bởi mỗi mặt bên với đáy.

Trả lời:

Ta có và lần lượt vuông góc với

Theo định lí ba đường vuông góc ta có

Từ đó suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có

Vậy mỗi mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau và bằng

Bài 7: Cho góc tam diện Sxyz với , , . Trên các tia , , lần lượt lấy các điểm sao cho . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác , ta có

Tam giác vuông cân tại nên ; tam giác đều nên .

Vì nên tam giác vuông tại

Gọi là trung điểm thì ta có

Mà nên

Vậy