ÔN TẬP CHƯƠNG 7. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 1)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Tìm góc giữa (ACD) và (BCD)

Trả lời:

+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD

⇒ CD ⊥ BI (1)

+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD

⇒ CD ⊥ AI (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);

Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AIB .

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Tính cos α.

Trả lời:

Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.

Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2

Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2

Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α

Tam giác CID có

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

Trả lời:

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)

Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

+ Tam giác SCD là cân tại S ; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)

SM ⊥ CD và HM ⊥ CD

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α

Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Chứng minh S, H, I thẳng hàng.

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của BC

⇒ AI ⊥ BC mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAI)

⇒ SI ⊥ BC (1)

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) .

Suy ra AH ⊥ BC

Lại có: SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm S; H; I thẳng hàng.

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Độ dài đường chéo AC' bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABB’ ta có :

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:

B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AB’C’ ta có:

Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật

Bài 6: Cho hình chóp có và tam giác vuông tại . Vẽ , . Điểm H nằm ở vị trí nào?

Trả lời:

Do nên . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà vuông tại nên là trung điểm của .

Bài 7: Cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau . Gọi là hình chiếu của lên mặt đáy .

Chứng minh .

Trả lời:

Vì hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

và là hình chiếu của lên mặt đáy

Nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra .

Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

Trả lời:

Vì

Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là?

Trả lời:

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.

Khi đó, tam giác AB’C đều

Lại có, DA’ song song CB’ nên 60

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Tìm góc giữa đường thẳng SC và đáy.
Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC, cho nên:

.

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc nào?

Trả lời:

Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA

Khi đó hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB, cho nên:

Bài 12: Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là và chiều cao bằng . Thể tích của khối chóp bằng

Trả lời:

Ta có .

Bài 13: Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thế nào?

Trả lời:

Thể tích khối chóp là:

.

Độ dài cạnh đáy tăng lên lần thì diện tích mặt đáy tăng lần.

Cạnh bên tăng lên lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên lần.

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên lần thì thể tích của khối chóp tăng lên lần.

Bài 14: Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là?

Trả lời:

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là

.

Bài 15: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Cạnh bên vuông góc với đáy và đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích của khối chóp theo .

Trả lời:

Ta có:

là hình chiếu của lên mặt phẳng (SAB).

.

Xét tam giác vuông tại có

.

Xét tam giác vuông tại có .

Mà .

.

Bài 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác Cạnh bên tạo với mặt phẳng một góc bằng Khoảng cách từ tới mặt phẳng (SBC) tính theo bằng?

Trả lời:

Đặc điểm hình: Góc giữa tạo với mặt phẳng là ;

Xác định khoảng cách

Tính :

.

Bài 17: Cho hình chóp có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng (ABCD) là điểm thuộc cạnh sao cho Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng Khoảng từ điểm đến mặt phẳng (SBC) tính theo bằng?

Trả lời:

Kẻ

góc giữa hai mặt phẳng và

là

Có ,

Có ,

Kẻ , mà

Mà

.

Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

Do là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC). Vậy là hình chiếu của SH lên mp (ABC) . Ta có: . SH ⊥ (ABC) Mà . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H.

Bài 19: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Gọi là góc giữa và , là góc giữa và . Giá trị bằng?

Trả lời:

Để xác định góc giữa và ta xác định hình chiếu của lên mặt phẳng . Ta có: là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên vì.

Vậy là hình chiếu của trên .

vuông tại .

Kẻ tại mà nên .

là hình chiếu vuông góc của trên .

vuông nên .

vuông tại .

Vậy .

Bài 20: Cho góc tam diện Sxyz với , , . Trên các tia , , lần lượt lấy các điểm sao cho . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác , ta có

Tam giác vuông cân tại nên ; tam giác đều nên .

Vì nên tam giác vuông tại

Gọi là trung điểm thì ta có

Mà nên

Vậy