ÔN TẬP CHƯƠNG 7. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 2)

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mp(MNP)

Trả lời:

+ Ta có : NP ⊂ (BCD)

⇒ NP và CD đồng phẳng

+ Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂ ( MNP)

suy ra CD ∩ (MNP) = E

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O; điểm S không thuộc mp(ABCD). Trên đoạn SC; lấy 1 điểm M không trùng với S và C. Gọi K là giao điểm của SO và AM. Tìm giao điểm của đưởng thẳng SD và mp( ABM).

Trả lời:

+ Chọn mặt phẳng phụ chứa SD là mp(SBD)

+ Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM)

Ta có: B ∈ (SBD) ∩ (ABM) (1)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD .

Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.

Ta có:

- K ∈ SO ⊂ (SBD)

- K ∈ AM ⊂ (ABM)

⇒ K ∈ (SBD) ∩ (ABM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABM) và (SBD) là BK

+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của SD và BK

⇒ N là giao điểm của SD và mp (ABM)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

Trả lời:

Trong mp (SBD), gọi K = IJ ∩ SD

Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN)

⇒ IJ ⊂ (AMN)

Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng song song với IJ.

Trả lời:

+ Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

+ Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD (2)

+ Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào?

Trả lời:

Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là hình vuông.

Tính góc (A’C’, BD).

Trả lời:

Tứ giác ACC’A có các cặp cạnh đối bằng nhau nên đó là một hình bình hành. Do đó, .

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).

Trả lời:

Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA ⊥ (ABC). Suy ra SA ⊥ BC.

Tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ BA.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC ⊥ (SAB)

Bài 8: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có nên .

Do đó

Bài 9: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng và . Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính theo .

Trả lời:

Gọi là trung điểm , là chân đường cao hạ từ .

Ta có .

vuông tại nên:

.

Trong tam giác vuông ta có:

.

Góc giữa cạnh bên và đáy là .

Bài 10: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau và một điểm không thuộc và . Qua có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với và ?

Trả lời:

Qua dựng đường thẳng vuông cóc với và . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 11: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thoi tâm cạnh bằng và góc , cạnh và vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác kẻ tại . Tính số đo góc .

Trả lời:

Ta có ; .

với là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên .

Bài 12: Cho tứ diện đều . Góc giữa và bằng . Tính .

Trả lời:

Đặt . Gọi là trung điểm của .

Tam giác đều cạnh nên và .

Tam giác đều nên và .

Do đó, .

Tam giác có .

Bài 13: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh và có góc . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm và là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là?

Trả lời:

đều nên . Mặt khác (1).

Do (2).

Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa và bằng

Bài 14: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính và có cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy với . Khoảng cách từ và đến mặt phẳng lần lượt là?

Trả lời:

.

Bài 15: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

Ta có

: (Định lý 3 đường vuông góc)

.

(vì tam giác BCD đều).

Ta có:

.

Bài 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến nhận giá trị nào?

Trả lời:

Khoảng cách từ đến :

Bài 17: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Gọi lần lượt là trung điểm của và .

Ta có

.

Ta có

.

Bài 18: Cho khối chóp có vuông góc với(ABC), đáy là tam giác vuông cân tại , , góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Ta có là hình chiếu của lên suy ra góc giữa và là góc .

Tam giác vuông cân tại , .

Xét vuông tại có

.

Ta có

.

Bài 19: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét tứ giác MNPQ có

Mặt khác, AB ^ CD

Vì MQ//AB nên

Theo giả thiết MC = x.BC

Vì MN//CD nên

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

Ta có

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.

Bài 20: Cho tứ diện trong đó, , vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

+ Dựng .

+ , cắt cùng nằm trong .

.

Xét trong vuông tại có là đường cao ta có:

.

+ Ta dễ chứng minh được vuông tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại ta có:

.