BÀI 27. THỂ TÍCH

1. NHẬN BIẾT (10 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là và chiều cao bằng . Thể tích của khối chóp bằng

Trả lời:

Ta có .

Bài 2: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng là

Trả lời:

Ta có .

Bài 3: Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thế nào?

Trả lời:

Thể tích khối chóp là: .

Độ dài cạnh đáy tăng lên lần thì diện tích mặt đáy tăng lần.

Cạnh bên tăng lên lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên lần.

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên lần thì thể tích của khối chóp tăng lên lần.

Bài 4: Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là?

Trả lời:

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là .

Bài 5: Khối chóp có , , , cố định và chạy trên đường thẳng song song với . Khi đó thể tích khối chóp sẽ thế nào?

Trả lời:

Gọi là đường thẳng qua và song song .

Ta có:

+ song songnên không đổi.

+, , , cố định nên diện tích tứ giác cũng không đổi.

Vì vậy thể tích khối chóp sẽ giữ nguyên.

Bài 6: Cho khối chóp có thể tích là , đáy là hình vuông cạnh . Độ dài chiều cao khối chóp bằng?

Trả lời:

.

Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và thể tích bằng .Tính chiều cao của hình chóp đã cho.

Trả lời:

Ta có:.

Bài 8: Cho hình chóp có đáy là một tam giác đều cạnh và thể tích bằng . Tính chiều cao của hình chóp đã cho.

Trả lời:

Do đáy là tam giác đều nên .

Mà .

Bài 9: Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của khối chóp sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

Trả lời:

Thể tích khối chóp sẽ tăng lên lần.

Bài 10: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và chiều cao . Tính thể tích của hình chóp đã cho.

Trả lời:

Do đáy là tam giác đều nên .

Mà .

2. THÔNG HIỂU (10 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy, góc giữa và mặt phẳng bằng ( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp bằng?

Trả lời:

Gọi là trung điểm thì và nên .

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là .

Do đó tam giác vuông cân tại và .

Suy ra

Bài 2: Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Tính thể tích của khối chóp.

Trả lời:

Diện tích đáy

Chiều cao:

Bài 3: Cho khối chóp có vuông góc với , đáy là tam giác vuông cân tại , , góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Ta có là hình chiếu của lên suy ra góc giữa và là góc .

Tam giác vuông cân tại , .

Xét vuông tại có .

Ta có . Vậy .

Bài 4: Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật,, , vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Ta có .

Dễ thấy .

Xét tam giác vuông có:

Vậy .

Bài 5: Cho hình chóp có và vuông góc với đáy . Biết rằng tam giác đều và mặt phẳng hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Gọi là trung điểm ta có

Xét tam giác vuông tại ta có

Ta có

Diện tích

Thể tích

Bài 6: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , tam giác là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

, .

.

Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết và góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Ta có , , .

.

Từ đó:

Vậy .

Bài 8: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , . Hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với trung điểm cạnh . Biết rằng. Tính theo thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Gọi là trung điểm . Ta có: suy ra .

Nên .

Bài 9: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Do đáy là tam giác đều nên gọi là trung điểm cạnh , khi đó là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có , và .

Trong tam giác vuông tại ta có

Vậy thể tích khối chóp là .

Bài 10: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy và tạo với mặt phẳng một góc Tính thể tích của khối chóp đã cho.

Trả lời:

Ta có

Suy ra

Thể tích khối chóp : .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho khối chóp tam giác có , tam giác có độ dài cạnh là ; ; , góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Ta có nửa chu vi là .

Diện tích là .

nên vuông, cân tại nên .

Thể tích khối chóp là .

Bài 2: Cho hình chóp có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , là tam giác đều cạnh , đường thẳng tạo với mặt phẳng góc . Thể tích của khối chóp bằng?

Trả lời:

Ta thấy tam giác cân tại , gọi là trung điểm của suy ra

Do nên .

Ta lại có nên thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Do là hình chiếu của lên mặt phẳng .

Ta có , .

.

Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh vuông góc với đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Ta có: mà .

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích khối chóp .

Trả lời:

Ta có

là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

Tam giác vuông tại có .

Khi đó .

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Cạnh bên vuông góc với đáy và đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích của khối chóp theo .

Trả lời:

Ta có: là hình chiếu của lên mặt phẳng .

.

Xét tam giác vuông tại có .

Xét tam giác vuông tại có .

Mà .

Vậy .

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Gọi lần lượt là trung điểm của và .

Ta có .

Ta có .

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ,. Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trọng tâm tam giác , mặt phẳng tạo với đáy một góc . Thể tích khối tứ diện bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có: .

Gọi là trung điểm của .

Gọi là trung điểm của , là trung điểm của và là trung điểm của .

Ta có .

Do nên góc giữa và đáy là .

Ta có: , .

Vậy .

Bài 3: Cho hình chóp có tam giác vuông cân tại , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên , tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Ta có: và .

Trong mặt phẳng , kẻ thì .

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh và thì và .

Mà nên tứ giác là hình vuông là trung điểm cạnh .

Khi đó tứ giác là hình vuông cạnh và .

Vậy .

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , mặt bên là tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ?

Trả lời:

Gọi là độ dài ,kẻ tại , ta có .

Do là trung điểm của nên khoảng cách từ đến mặt phẳng gấp lần khoảng cách từ đến mặt phẳng mà .

Tính : kẽ , ta chứng minh được , , vậy .

Bài 5: Cho hình chóp với đáy là hình thang vuông tại và , đáy nhỏ của hình thang là , cạnh bên . Tam giác là tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi là trung điểm cạnh , khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối chóp ?

Trả lời:

Ta có , .

.

Ta có nên .

Đặt nên ;

.

.

.

Vậy .