BÀI 18: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

(24 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Cho và là hai biến cố độc lập với nhau. . Khi đó bằng?

Trả lời:

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên

P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12

Câu 2: là hai biến cố độc lập. Biết . Tính

Trả lời:

A, B là hai biến cố độc lập nên:

Câu 3: Bốn khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là . Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng.

Trả lời:

Tính xác suất mục tiêu không bị bắn trúng:

Vậy xác suất trúng địch

Câu 4: Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,6 ; người thứ hai bắn trúng bia là 0,9 . Hãy tính xác suất để cả hai người cùng bắn trúng.

Trả lời:

Gọi là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng bia”

Gọi là biến cố “Người thứ hai bắn trúng bia”

Gọi A là biến cố “Cả hai người bắn trúng”. Suy ra A =

Vì là độc lập nên P(A) = P(

Câu 5: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,95 và 0,8 . Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.

Trả lời:

Gọi A là biến cố “Động cơ I chạy tốt” P(A) = 0,95

B là biến cố “Động cơ II chạy tốt” = 0,8

C là biến cố “Cả hai động cơ đều chạy tốt”

Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C = AB.

Ta có P(C) = P(AB) = P(A)P(B) = 0,95.0,8 = 0,76.

2. THÔNG HIỂU (10 CÂU)

Câu 1: Trường Minh Phúc có tỷ lệ học sinh giỏi môn tin là 0,3; tỉ lệ môn tiếng Anh là 0,4; tỉ lệ giỏi cả hai môn trên là 0,25. Chọn ngẫu nhiên 1 một học sinh của trường. Xác suất chọn được học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn trên là?

Trả lời:

Gọi A là tập hợp học sinh giỏi môn tin. Ta có P(A) = 0,3.

B là tập hợp học sinh giỏi môn tiếng Anh. Ta có P(B) = 0,4.

Khi đó tập hợp học sinh giỏi cả hai môn là . Ta có: .

Vậy, xác suất chọn được học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn trên là:

.

Câu 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 4 lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần gieo lớn hơn 5” là?

Trả lời:

Không gian mẫu: .

Gọi biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần giéo lớn hơn 5”.

: “Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần giéo bé hơn hoặc bằng 5”. Suy ra:

Do đó, .

Câu 3: Học sinh lớp 12A tham gia các câu lạc bộ bóng bàn và cờ vua của trường. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xác suất chọn được học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên bằng 0,2, còn xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ bóng bàn bằng 0,25. Xác suất chọn được học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ bóng bàn là?

Trả lời:

Gọi A: “Học sinh tham gia câu lạc bộ bóng bàn” .

B: “Học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua”.

“Học sinh tham gia một trong hai câu lạc bộ cờ vua hoặc bóng bàn”.

“học sinh tham gia CLB cả hai môn” .

Vậy, ta có: .

Câu 4: Một thành phố có 25% người đàn ông nghiện thuốc lá, trong số những người đàn ông nghiện thuốc lá có 41% người đàn ông bị bệnh viêm phổi. Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông trong thành phố. Xác suất người đàn ông được chọn bị bệnh viêm phổi, biết người đó nhiện thuốc lá, là?

Trả lời:

Xác suất người đàn ông được chọn bị bệnh viêm phổi, biết người đó nhiện thuốc lá, là:

Câu 5: Khitìm hiểu về việc học tiếng Anh của một trường phổ thông, người ta thấy rằng có 70% học sinh tự học tiếng Anh bằng hình thức học trực tuyến. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Khi đó, xác suất chọn được học sinh giỏi tiếng Anh, biết học sinh đó tự học bằng hình thức trực tuyến, là 0,8; xác suất chọn được học sinh giỏi tiếng Anh, biết không tự học bằng hình thức trực tuyến, là 0,3. Xác suất chọn được học sinh giỏi tiếng Anh là?

Trả lời:

Gọi A là biến cố: “Học sinh tự học tiếng anh bằng hình thức học trực tuyến”

=> P(A) = 0,7; P(Ā) = 0,3.

B là biến cố: “học sinh giỏi tiếng anh bằng hình thức trực tuyến” => P(B) = 0,8.

C là biến cố: “học sinh giỏi tiếng anh không tự học bằng hình thức trực tuyến” => P(C ) = 0,3.

D là biến cố: “học sinh giỏi tiếng anh”

P(D ) = P(A).P(B) + P(Ā).P(C) = 0,7.0,8 + 0,3.0,3 = 0,65.

Câu 6: Mộtbộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài, trong đó có 4 quân Át. Bạn Hoa rút ngẫu nhiên 1 quân bài không phải Át (không hoàn lại), sau đó bạn Dung rút ngẫu nhiên 1 quân bài. Xác suất bạn Dung rút được quân Át là?

Trả lời:

Ban dầu có 52 quân bài, Hoa lấy 1 quân còn 51 quân, trong đó có 4 quân Át.

Do đó, xác suất để bạn Dung rút được quân Át là: .

Câu 7: Khi điều tra về hoạt động sử dụng máy tính và tình trạng cận thị của trẻ em ở một tỉnh thì được kết quả:

- Có 10% trẻ em thường xuyên sử dụng máy tính.

- Có 30% trẻ em bị cận thị.

- Trong những trẻ em thường xuyên sử dụng máy tính có 54% trẻ em bị cận thị.

Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em. Xác suất trẻ em được chọn thường xuyên sử dụng máy tính, biết trẻ e đó bị cận thị, là?

Trả lời:

Gọi A là biến cố: “Trẻ em thường xuyên sử dụng máy tính”

B là biến cố: “Trẻ em bị cận thị”

C là biến cố: “Trẻ em bị cận thị thường xuyên sử dụng máy tính”

C= A Ç B

P(A)=0,1 ; P(B)=0,3

Vì trong 10% trẻ em thường xuyên sử dụng máy tính có 54% trẻ em cận thị

P( C)= P(A Ç B) = 0,54.0,1= 0,054

Xác suất chọn 1 trẻ em thường xuyên sử dụng máy tính và cận thị là:

Câu 8:Một trường THPT có 18 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ 18 học sinh trên để đi dự trại hè. Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.

Trả lời:

Chọn 8 học sinh bất kì trong 18 học sinh thì số cách chọn là cách.

Tương tự với dấu hiệu mà STUDY TIP đưa ra thì ta tìm số trường hợp thuận lợi cho biến cố đối của biến cố cần tìm.

Chọn 8 học sinh mà không có khối 10, có cách.

Chọn 8 học sinh mà không có khối 11, có cách.

Chọn 8 học sinh mà không có khối 12, có cách.

Gọi là biến cố “ 8 học sinh được chọn, mỗi khối có ít nhất 1 học sinh”. Số trường hợp thuận lợi cho là

Vậy xác suất cần tìm là .

Câu 9:Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.

Trả lời:

Số phần tử không gian mẫu là: .

Gọi là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi ”.

Thì biến cố là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi ”

Buộc các số lại thì ta còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số đứng đầu là cách cách

Nên

Câu 10:Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được.

Trả lời:

Gọi là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”.

Suy ra là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” “ xe không chạy được nữa”.

Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên và là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là.

Vậy xác suất để xe đi được là .

3. VẬN DỤNG (5 CÂU)

Câu 1: Câu lạc bộ văn nghệ của trường Giải Phóng có 40 bạn đều biết chơi ít nhất một trong hai loại đàn là organ và guitar, trong đó có 27 bạn biết chơi đàn organ, 25 bạn biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi đàn organ, biết bạn đó chơi được đàn guitar, là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố: : "Chọn được bạn biết chơi đàn organ";

: "Chọn được bạn biết chơi đàn guitar".

Khi đó, ; ;

Suy ra .

Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi đàn organ, biết bạn đó chơi được đàn guitar, là .

Câu 2: Lớp 12A có 37 học sinh, trong đó có 15 học sinh thích môn Tin học, 20 học sinh thích môn Tiếng Anh, 10 học sinh không thích môn nào trong hai môn trên. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xác suất chọn được học sinh thích môn Tin học, biết học sinh đó thích môn Tiếng Anh, là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố: : "Chọn được học sinh thích môn Tin học";

B: "Chọn được học sinh thích môn Tiếng Anh".

Khi đó, ;

Suy ra ;

Vậy xác suất chọn được học sinh thích môn Tin học, biết học sinh đó thích môn

Tiếng Anh, là .

Câu 3: Một mảnh đất chia thành 2 khu vườn: Khu A có 300 cây ăn quả, khu B có 400 cây ăn quả. Trong đó, số cây cam ở khu A và khu B lần lượt là 200 cây và 250 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Xác suất cây được chọ là cây cam, biết rằng cây đó ở khu B, là?

Trả lời:

Xét các biến cố:

M: “Cây được chọn là cây cam”; N: “Cây được chọn ở khu B”.

Ta có: .

Vậy xác suất cây được chọn là cây cam, biết rằng cây đó ở khu B, là .

Câu 4: Một thư viện có hai phòng riêng biệt, phòng A và phòng B. Xác suất chọn được một quyển sách về chủ đề Khoa học tự nhiên thuộc phòng A và thuộc phòng B lần lượt là và . Chọn ngẫu nhiên 1 quyển sách của thư viện. Giả sử quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên, xác suất quyển sách đó ở phòng A là?

Trả lời:

Xét các biến cố:

M: “Quyển sách được chọn ở phòng A”

N: “Quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên”

Q: “Quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên và thuộc phòng A”

R: “Quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên và thuộc phòng B”.

Nhận thấy và là hai biến cố xung khắc nên

Ta có: .

Vậy xác suất quyển sách được chọn ở phòng A, biết rằng quyển sách đó về chủ đề Khoa học tự nhiên, là .

Câu 5: Một cuộc thi khoa học có bộ câu hỏi, trong đó có bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên và bộ câu hỏi về chủ đề xã hội. Bạn An lấy ngẫu nhiên bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Bình lấy ngẫu nhiên bộ câu hỏi. Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội bằng với là phân số tối giản. Giá trị của bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố:

A: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

A: “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó,

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn bộ câu hỏi, trong đó có câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra .

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn bộ câu hỏi, trong đó có câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra .

4. VẬN DỤNG CAO (4 CÂU)

Câu 1:Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấn sai 3 lần liên tiếp của sẽ tự động khóa lại.

Trả lời:

Gọi A_i(i=1,2,3…) là biến cố lần thứ i học sinh B mở được cửa

Không gian mẫu

Có 8 cặp 3 số có tổng bằng 10 là:

Xác suất để học sinh B mở được cửa lần thứ i là

Xác suất để học sinh B không mở được cửa lần thứ i là

Xác suất để học sinh B bấm 3 lần mở được cửa là:

Câu 2:Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất “có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4” phải lớn hơn .

Trả lời:

Xét phép thử: “Rút ngẫu nhiên tấm thẻ từ hộp”

Ta có:

Gọi là biến cố: “Có ít nhất một tấm thẻ ghi số chia hết cho ”

Suy ra là biến cố: “ Không có tấm thẻ nào được ghi số chia hết cho ”

Ta có

Trong tấm thẻ có tấm thẻ chia hết cho.

Chọn tấm thẻ ghi số không chia hết cho từ tấm thẻ còn lại: Có cách.

Suy ra

Do đó phải rút ít nhất thẻ.

Câu 3: Từ các chữ số viết ngẫu nhiên một chữ số có 6 chữ số khác nhau dạng . Xác suất để viết được số thỏa mãn điều kiệnlà?

Trả lời:

+ Viết ngẫu nhiên một số có 6 chữ số khác nhau từ các số đã cho .

+ Theo giả thiết .

Mà nên có 3 trường hợp là tổng của 6 chữ số bằng 21; 18 và 15.

Trường hợp 1: nên ta không chọn số 0.

Khi đó có 6 cách chọn nên có 1 cách chọn ứng với; có 2 cách chọn để tổng bằng 7 và có 2! cách xếp; có 2! cách xếp. Vậy có 6.2.2.2 = 48 số.

(Có thể viết: Bộ có cách chọn, bộ có cách chọn, bộ có chọn, sau đó hoán vị mỗi bộ ta được )

Trường hợp 2: nên ta không chọn số 3.

Do nên có 2 khả năng sau xảy ra

Nếu thì .

Khi đó có 2 cách chọn để tổng bằng 6 và có 2! cách xếp; có 2! cách xếp. Vậy có 2.2.2 = 8 số.

Nếu thì khi đó có 4 cách chọn; có 1 cách chọn theo; có 2 cách chọn để tổng bằng 6 và có 2! cách xếp; (a₅; a₆ ) có 2! cách xếp. Có 4.2.2.2 = 32 số.

Vậy trường hợp 2 có 8 + 32 = 40 số.

(Đề xuất viết: Lập luận như trường hơp 1 có: cách (kể cả ). Xét , tương tự có . Do đó có )

Trường hợp 3: nên ta không chọn số 6. Làm tương tự trường hợp 2 có 40 số.

Kết hợp 3 trường hợp ta có 48 + 40 + 40 = 128 số.

Suy ra .

Câu 4: Một hộp chứa viên bi được đánh số từ đến . Chọn viên bi một cách ngẫu nhiên rồi cộng các số trên viên bi được rút ra với nhau. Xác suất để kết quả thu được là số lẻ là?

Trả lời:

Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu.

Chọn ngẫu nhiên viên bi trong viên bi thì số cách chọn là

Bước 2: Tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố.

Gọi là biến cố: “Chọn viên bi cộng các số trên viên bi đó thu được là số lẻ”.

Trong viên bi có viên bi mang số lẻ đó là và viên bi mang số chẵn .

* Trường hợp 1: viên bi mang số lẻ và viên bi mang số chẵn.

Số cách chọn trong trường hợp là cách.

* Trường hợp 2: viên bi mang số lẻ và viên bi mang số chẵn.

Số cách chọn trong trường hợp là cách.

* Trường hợp 3: viên bi mang số lẻ và viên bi mang số chẵn.

Số cách chọn trong trường hợp là cách.

Suy ra

Bước 3: Tính xác suất .