BÀI 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là h(t) = (theo Vật lý Đại Cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

Trả lời:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là

.

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là .

b) Vì h (t) là hàm số bậc hai có hệ số nên h (t) đạt giá trị lớn nhất tại (giây).

Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là .

Câu 2: Một chất điểm chuyển động theo quy luật (m). Tìm thời điểm t (giây) mà tạo đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Trả lời:

Ta có

Bảng biến thiên

Vậy chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm t = 2 (giây).

Câu 3: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động , trong đó g = 9,8 m/s² và t tính bằng giây (s). Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s bằng?

Trả lời:

Có v(t) = s'(t) = gt = 9,8t.

Khi đó v(5) = 9,8.5 = 49 m/s.

Câu 4: Công suất (đơn vị ) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin được cho bởi công thức với (đơn vị ) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện.

Trả lời:

Xét hàm số có đạo hàm

Bảng biến thiên:

Công suất tối đa của mạch điện là 72 (W) đạt được khi cường độ dòng điện là 12 (A).

Câu 5: Một vật chuyển động theo quy luật với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có

Xét hàm số v(t) =

Ta có

Ta có:

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức trong đó x (mg) và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có:

Vậy x = 0 (loại) hoặc x = 20 (thỏa mãn).

Dựa vào bảng biến thiên thì bệnh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20mg

Câu 2: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là , (kết quả khảo sát được trong 10 tháng vừa qua). Nếu xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ?

Trả lời:

Ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15.

Câu 3: Bác Tôm có một cái ao có diện tích 50 để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 con/ và thu được tất cả 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá thu được bác ấy cứ giảm đi 8 con/ thì tương ứng sẽ có mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5kg. Hỏi vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng khối lượng cá thành phẩm cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

Trả lời:

Số cá vụ vừa rồi Bác Tôm nuôi là 20.50 = 1000 con.

Vậy trọng lượng mỗi con là 1,5 kg.

Gọi số cá giảm là 8x con.

Trọng lượng thu được của vụ tới là:

Hàm số đạt cực đại tại .

Vậy số cá giống ban đầu là 1100 con.

Câu 4: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số , trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

Trả lời:

Ta có: .

Nhận xét: v(t) có đồ thị là một parabol nên trong 5s đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 13 tại t = 2s.

Câu 5: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 (m/s). Trong Vật lý, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Trả lời:

Xét hàm số: .

Tập xác định của hàm số là

Ta có:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại t =

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là giây.

Câu 6: Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm 0,25$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi x là số lần giảm 0,25$.

Cước thuê bao hàng tháng lúc này là 40 - 0,25x với 0 £ x £ 160

(do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là 1000x.

Hàm doanh thu được cho bởi R = (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả)

Đạo hàm

Vì tập xác định của R là khoảng đóng [0; 160] nên R đạt cực đại tại x = 30 hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].

Ta có:

Vậy doanh thu tối đa khi x = 30. Điều này tương ứng với 30 lần giảm 0,25$, tức là cước thuê bao hàng tháng là 40$ - 7,5$ = 32,5$.

Số thuê bao tại mức cước này là 100000 + 30.(1000) = 130000.

3. VẬN DỤNG (6 CÂU)

Câu 1: Khi nuối cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Trả lời:

Gọi F(n) là hàm cân nặng của n con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích Ta có: .

Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của n con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ là lớn nhất.

Bài toán trở thành tìm đạt giá trị lớn nhất.

Lập bảng biến thiên.

Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Câu 2: Để giảm nhiệt độ trong phòng từ , một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi T (đơn vị ) là nhiệt độ phòng ở phút thứ t được cho bởi công thức t [1;10]. Tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động.

Trả lời:

Xét hàm số với [1;10].

suy ra hàm số T nghịch biến trên đoạn [1;10].

Nhiệt độ thấp nhất trong phong đạt được là.

Câu 3: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x: đồng; x ³ 2000.000 đồng)

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 100.000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống.

Tăng giá x - 2.000.000 đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.

Theo quy tắc tam xuất ta có số căn hộ bị bỏ trống là:

Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F(x): đồng).

Ta có: (bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ).

Câu toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của:

Bảng biến thiên:

Suy ra F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2.250.000.

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.

Câu 4: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.

Trả lời:

Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng,

(x: đồng; 30.000 £ x£ 50.000 đồng).

Ta có thể lập luận như sau: Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.

Giảm giá 50.000 – x thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là:

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x:

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được (F(x): đồng).

Ta có:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

, điều kiện: 30.000 £ x £ 50.000

Vì hàm F(x) liên tục trên 30.000 £ x £ 50.000 nên ta có:

F(30.000) = 0; F(42.000) = 1.440.000; F(50.000) = 800.000

Vậy với x = 42.000 thì F(x) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng.

Câu 5: Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vào mỗi chiếc xe là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ, với giá bán này thì số lượng bán một năm là 600 chiếc. Cửa hàng cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu thì doanh thu loại xe đó của cửa hàng đạt lớn nhất.

Trả lời:

Gọi x (triệu VNĐ) là số tiền cần giảm cho mỗi chiếc xe (0 £ 4 £ 4).

Số lượng xe bán ra được trong một năm sau khi giảm giá là: x.200 + 600 (chiếc) Số lợi nhuận thu được từ việc bán xe trong một năm sau khi giảm giá là:

Xét hàm số

(0x đạt giá trị lớn nhất là 2450 khi

Câu 6: Công ty dụ lịch Ban Mê dự định tổ chức một tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất.

Trả lời:

Gọi x(triệu đồng) là giá tua.

Giá đã giảm so với ban đầu là x − 2.

Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán x là:

Số người sẽ tham gia nếu bán giá x là:

Tổng doanh thu là:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất khi . Vậy công ty cần đặt giá tua 1375000 đồng thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là 378125000 đồng.

4. VẬN DỤNG CAO (3 CÂU)

Câu 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là s(t) = −t³ + 6t² + 17t, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Trả lời:

Có v(t) = s'(t) = −3t² +12t + 17.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của v(t) = −3t² +12t + 17 trên [0; 8].

Có v'(t) = −6t + 12; v'(t) = 0 ⇔ v = 2 (nhận).

Có v(0) = 17 m/s, v(2) = 29 m/s, v(8) = −79 m/s.

Do đó vận tốc chất điểm lớn nhất là 29 m/s khi t = 2 giây.

Câu 2: Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm và ước tính rằng với q sản phẩm được sản xuất thì tổng chi phí sẽ là C(q) = 3q² + 72q – 9789. Giá mỗi sản phẩm công ty sẽ bán với giá p(q) = 180 – 3q. Hãy xác định số sản phẩm công ty cần sản xuất sao cho công ty thu được lợi nhuận cao nhất.

Trả lời:

Gọi q (0 < q < 60) là số sản phẩm mà công ty A cần sản xuất để thu được lợi nhuận cao nhất.

Khi đó nếu bán hết số sản phẩm thì doanh thu sẽ là R(q) = q.(180 – 3q) = 180q – 3q².

Suy ra lợi nhuận mà công ty thu được là P(q) = R(q) – C(q) = −6q² + 108q + 9789.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của P(q) với 0 < q < 60.

Có P'(q) = −12q + 108; P'(q) = 0 ⇔ q = 9.

Bảng biến thiên

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta có để lợi nhuận cao nhất thì công ty cần sản xuất 9 sản phẩm.

Câu 3: Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số , trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Trả lời:

Ta có:

Theo đề bài, ta có:

Do đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này, ta được

Khi đó tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào