BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Bảng biến thiên ở bên là của hàm số nào?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án a

Hàm số luôn đồng biến nên loại b, c, d.

Câu 2: Bảng biến thiên ở bên là của hàm số nào?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án a

Đồ thị hàm số có đạt cực trị tại 2 điểm nên loại c, d. Mà nhìn vào dạng biến thiên của đồ thị hàm số nên ta loại b.

Câu 3: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án b

Hàm số đạt cực trị tại .

Câu 4: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án a

Hàm số đi qua điểm nên a đúng.

Câu 5: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án d

Hàm số đạt cực trị tại và dạng của đồ thị nên d đúng.

2. THÔNG HIỂU (5 CÂU)

Câu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - x³ + 3x² – 4

Trả lời:

Tập xác định : D= R.

Chiều biến thiên :

Ta có : y’= - 3x² + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y’= 0 ⇔ - 3x (x – 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2.

Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = - 4

Giới hạn của hàm số tại vô cực :

Đồ thị :

Cho x= 1 ⇒ y =0

x= 3 ⇒ y= -4

Điểm uốn:

y”= - 6x+ 6 =0 ⇔ x= 1

⇒ y(1) = - 2.

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; -2) làm điểm uốn.

Câu 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =- x³ + 3x²

Trả lời:

Tập xác định : D= R.

Chiều biến thiên:

Ta có : y’= - 3x² + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y’= - 3x(x -2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2.

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0;2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 0 .

Đồ thị :

Cho x= 1⇒ y(1) = 4

x= 3 ⇒ y=0

Điểm uốn:

Ta có: y”= - 6x+ 6 = 0

⇔ x= 1 ⇒ y (1) = 4

Vậy đồ thị nhận điểm I (1; 4) làm điểm uốn.

Câu 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Trả lời:

Tập xác định: D = R.

Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên R và hàm số không có cực trị .

Bảng biến thiên:

Đồ thị : Cho x= 0 ⇒ y(0)= 0

Điểm uốn:

y”= 2x+ 4 = 0 ⇔ x=- 2

Vậy điểm uốn của đồ thị là

Câu 4: Cho hàm số y= x³ + 3x² – mx – 4, trong đó m là tham số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=0.

Trả lời:

Khi m= 0 thì hàm số là y= x³ + 3x² – 4 .

Tập xác định: D= R.

Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Ta có: y’= 3x² + 6x = 3x(x+ 2)

Xét phương trình y’= 0 ⇔ 3x(x+ 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= - 2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng , , nghịch biến trên khoảng (-2;0).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -2; giá trị cực đại của hàm số là y(-2)=0 .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= - 4

Đồ thị :

Cho x = -3 ⇒ y= - 4

x= 1 ⇒ y=0

Điểm uốn

y” = 6x+ 6 =0

⇔x= - 1 ⇒ y(-1)= - 2 nên điểm uốn I(-1; -2)

Câu 5: Cho hàm số y= 2x³ – 9x² + 12x -4 có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;

Trả lời:

Tập xác định D= R.

Đạo hàm y’= 6x² – 18 x+ 12 = 0

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng ,

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x= 1 và y_CĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và y_CT = 0

Đồ thị:

Điểm uốn:

Do đó, điểm uốn

3. VẬN DỤNG (6 CÂU)

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án a

Ta có với

Mà với .

Câu 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án d

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm . Ta có: , nhận thấy hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có tổng âm và tích âm .

Câu 3: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án a

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương . Ta có: , nhận thấy hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có tổng dương và tích bằng .

Câu 4: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án a

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm . Ta có: , nhận thấy hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có tổng âm và tích bằng .

Câu 5: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án d

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương . Ta có: , nhận thấy hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có tổng dương và tích bằng .

Câu 6: Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Chọn đáp án d

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương . Ta có: , nhận thấy hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có tổng âm và tích âm .

4. VẬN DỤNG CAO (4 CÂU)

Câu 1: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Tính giá trị của biểu thức

Trả lời:

Đạo hàm

Phương trình có hai nghiệm là và nên ta có

Lại có

Vậy .

Câu 2: Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây:

Tính

Trả lời:

Đạo hàm

Phương trình có nghiệm nên ta có

Lại có .

Giải hệ gồm và , ta được

Câu 3: Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Trả lời:

Tịnh tiến đồ thị hàm số xuống dưới 1 đơn vị theo phương song song trục Oy, dễ thấy đồ thị lúc này chỉ cắt Ox tại đúng 2 điểm.

Câu 4: Cho hàm số xác định, liên tục trên và bảng biến thiên như hình vẽ

Tính giá trị của biểu thức

Trả lời:

Gọi hàm số bậc ba có dạng , ta có .

Dựa và bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là .

Điểm là điểm cực đại .

Điểm là điểm cực tiểu

.

Từ (1), (2) suy ra và .

Vậy .