BÀI 19: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

(21 câu)

1. NHẬN BIẾT (8 CÂU)

Câu 1: Cho hai biến cố A và B, vơi P(B) = 0,8, P(A|B) = 0,8,

Tính P(A).

Trả lời:

Công thức xác suất toàn phần:

Câu 2: Cho hai biến cố thỏa mãn . Khi đó, bằng?

Trả lời:

Theo công thức Bayes, ta có: .

Câu 3: Cho hai biến cố với và . Khi đó bằng?

Trả lời:

Ta có: .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Câu 4: Cho hai biến cố A và B với 0 < P(A) < 1.

Viết công thức xác suất toàn phần tính P(B)

Với P(A) = 0,1;

Trả lời:

Ta có: P(B) =

Câu 5: Với P(A) = 0,1;

Trả lời:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

Câu 6: Cho hai biến cố A và B với P(B) = 0,2; Tính

Trả lời:

Ta có P(B) = 0,2

Áp dụng công thức Bayes:

Câu 7: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 và P(A|B) = 0,4 thì P(B|A) bằng?

Trả lời:

Theo công thức Bayes, ta có:

Câu 8: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 và P(A|B) = 0,25 thì P(B|A) bằng?

Trả lời:

Theo công thức Bayes, ta có:

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Một động cơ điện có hai van bảo hiểm cùng hoạt động. Xác suất hoạt động tốt của van I là 0,9, của van II là 0,72. Xác suất hoạt động tốt của van I, biết van II hoạt động tốt, là 0,96. Giả sử van I hoạt động tốt, xác suất hoạt động tốt của van II là?

Trả lời:

Gọi A là biến cố “ Van I hoạt động tốt”

Vậy P(A) = 0,9

Gọi B là biến cố “ Van II hoạt động tốt”

Vậy P(B) = 0,72

Theo công thức Bayes ta có

Câu 2: Cho hai biến cố A và B, với P(B) = 0,8, P(A|B) = 0,7, P(A|

a) Tính P(A)

b) Tính P(B|A).

Trả lời:

a) P

Công thức xác suất toàn phần:

b) Công thức Bayes:

Câu 3: Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông H. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó.

Gọi A là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”,

B là biến cố “học sinh được chọn là nam”.

Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng 0,6; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0,3; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0,15. Tính P(A).

Trả lời:

Từ giả thiết ta có P(B) = 0,6

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Câu 4: Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 53%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X lần lượt là 21% và 17%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X.

Trả lời:

Gọi A: “Học sinh được chọn là nữ”

“Học sinh được chọn là nam”;

B: “Học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X”

Từ giả thiết ta có P(A) = 0,53

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X là:

3. VẬN DỤNG (5 CÂU)

Câu 1: Truờng Bình Phúc có học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố: : "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";

: “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.

Khi đó, .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

.

Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:

.

Câu 2: Thực hiện khảo sát tại một địa phương mà số trẻ em nam gấp lần số trẻe em nữ, có số trẻ em nam bị hen phế quản, số trẻ em nữ bị hen phế quản. Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em. Giả sử trẻ em được chọn bị hen phế quản. Xác suất chọn được trẻ em nam là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Xét các biến cố: : "Chọn được tré em nam";

: "Chọn được trẻ em nam bị hen phế quån".

Khi đó,

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Câu 3: Tỉ lệ bị bệnh cúm tại một địa phương bằng . Khi thực hiện xét nghiệm chẩn đoán, nếu người có bệnh cúm thì khả năng phản ứng dương tính là , nếu người không bị bệnh cúm thì khả năng phàn ứng dương tính . Chọn ngẫu nhiên 1 người tại địa phương đó. Xác suất người được chọn có phản ứng dương tính là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố : "Chọn được người bi bệnh cúm";

: "Chọn được người có phản ứng dương tính".

Khi đó .

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố là:

.

Câu 4: Có hai thùng I và II chứa các sản phẩm có khối lượng và hình dạng như nhau. Thùng I có 5 chính phẩm và 4 phế phẩm, thùng 2 có 6 chính phẩm và 8 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ thùng I sang thùng II. Sau đó, lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ thùng II để sử dụng. Xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Xét các biến cố: : "Lấy được 1 chính phẩm từ thùng I sang thùng II";

: "Lây được 1 chính phẩm từ thùng II".

Khi đó, ; ;

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố là:

.

Câu 5: Một xưởng máy sử dụng một loại linh kiện được sản xuất từ hai cơ sở I và II. Số linh kiện do cơ sở I sản xuất chiếm %, số linh kiện do cơ sở II sản xuất chiếm %. Tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của cơ sở I, cơ sở II lần lượt là 93%, 82%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 linh kiện ở xưởng máy. Xét các biến cố:

: “Linh kiện được kiểm tra do cơ sở I sản xuất”;

: “Linh kiện được kiểm tra do cơ sở II sản xuất”;

: “Linh kiện được kiểm tra đạt tiêu chuẩn”.

Tính

Trả lời:

Ta có:

.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Theo công thức Bayes, ta có: .

4. VẬN DỤNG CAO (4 CÂU)

Câu 1: Một kho hàng có sản phẩm loại I và sản phẩm loại II, trong đó có sản phẩm loại I bị hỏng, sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xét các biến cố:

: "Khách hàng chọn được sản phẩm loại I ";

: "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng".

Tính .

Trả lời:

Ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Theo công thức Bayes, ta có: .

Câu 2: Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có bóng đèn Led là màu trắng và bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là . Một khách hàng chọn mua ngấu nhiên 1 bóng đèn Led từ cửa hàng. Xét các biến cố:

: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng";

: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".

Tính:

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

Ta có:

;

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Câu 3: Trong một hộp có 10 quả bóng màu xanh và 12 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có khối lượng và kích thước như nhau. Bạn Tuấn lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả bóng, mỗi lần lấy 1 quả và không hoàn lại. Xét các biến cố:

: "Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh";

: "Lần thứ hai lấy được quả bóng màu xanh".

Tính P(B).

Trả lời:

Ta có:

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 9 quả bóng màu xanh, suy ra

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu đỏ thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 10 quả bóng màu xanh, suy ra .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Câu 4: Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có 6% những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quà đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Xét các biến cố:

A: “Người được chọn mắc bệnh X”;

B: “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.

Theo giả thiết ta có: ;

Theo công thức Bayes, ta có:

Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y thì xác suất bị mắc bệnh X của người đó là khoảng 0,03.