BÀI 13: MỞ ĐẦU VỀ ĐƯỜNG TRÒN

(17 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa về đường tròn.

Trả lời:

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

• Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).
• Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết A ∈ (O). Khi đó, ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

Câu 2: Vị trí các điểm nằm trên đường tròn có ảnh hưởng gì đến R? Em hãy nêu nhận xét chi tiết về vấn đề này.

Trả lời:

1) Trên Hình 5.1, ta thấy điểm A nằm trên, điểm C nằm trong và điểm B nằm ngoài đường tròn (O). Một cách tổng quát, ta có:

• Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R;
• Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R;
• Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OM > R.

2) Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O;R).

Câu 3: Đối xứng tâm là gì?

Trả lời:

Đối xứng tâm: Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua điểm / (hay qua tâm I) nếu I là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

Chẳng hạn, nếu O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD thì OA = OC nên A và C đối xứng với nhau qua O. Tương tự, B và D đối xứng với nhau qua О.

Câu 4: Đối xứng trục là gì?

Trả lời:

Đối xứng trục:

Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng ở (hay qua trục d) nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng MM.

Chẳng hạn, nếu AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A thì AH cũng là đường trung trực của BC, nên B và C đối xứng với nhau qua AH.

Câu 5: Từ hai định nghĩa trên, em hãy cho biết tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn là gì.

Trả lời:

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, cm. Vẽ đường tròn (A; 4 cm). Trong các điểm O, B, C, D, xác định điểm nằm trong, nằm trên và nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Trả lời:

Ta có:

Hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ⊥ BD, AC = BD và O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra (cm) và AO ⊥ OB.

Xét ∆AOB vuông O, theo định lí Pythagore ta có:

Do đó AB = 4 (cm).

Khi đó, AD = AB = 4 (cm) (do ABCD là hình vuông) nên hai điểm B, D nằm trên đường tròn (A; 4 cm).

Vì (cm) < 4 (cm) nên điểm O nằm trong đường tròn (A; 4 cm).

Ta có (cm) > 4 (cm) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm)

Câu 2: Cho hai đường tròn (O; 9 cm), (O’; 8 cm) với OO’ = 17 cm. Em hãy nêu kết luận đúng về vị trí tương đối của hai đường tròn.

Trả lời:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 9 cm và r = 8 cm.

Vì R + r = 9 + 8 = 17 (cm) nên OO’ = R + r.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài.

Câu 3: Cho đường tròn (O) với hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Chứng
minh ABCD là hình vuông.

Trả lời:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD là đường kính của đường tròn (O)
nên ABCD là hình chữ nhật.

Lại có AC ⊥ BD.

Vậy ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau nên
ABCD là hình vuông

Câu 4: Chứng minh rằng, nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường
tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

Trả lời:

Xét tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O) đường kính BC.
Ta có OA = OB = OC (vì là bán kính của (O)).

Lúc đó AO là trung tuyến ứng với cạnh BC và AO =

Vậy ABC là tam giác vuông tại A.

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua
ba đỉnh của tam giác ABC.

Trả lời:

Gọi M là trung điểm của BC.Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = .
Suy ra MA = MB = MC =

Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là điểm M và
bán kính R =

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Trả lời:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung trực của đoạn BC, suy ra H là trung điểm của đoạn BC.

Tam giác ACH vuông tại H nên

AH = = 16 cm

Tam giác ACD có AD là đường kính nên tam giác ACD vuông tại C.

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông ACD ta có

AC² = AD . AH ⇔ AD = <=> AD = 25 cm.

Vậy bán kính của đường tròn (O) là R =

3. VẬN DỤNG (4 CÂU)

Câu 1: . Cho tam giác đều cạnh bằng , các đường cao . Gọi là trung điểm của

a) Chứng minh rằng cùng thuộc đường tròn (O).

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh điểm nằm trong, điểm nằm ngoài đối với đường tròn đường kính .

Trả lời:

a) Ta có:

Xét tam giác vuông , có là đường trung tuyến nên
Xét tam giác vuông , có là đường trung tuyến nên

Vậy cùng thuộc 1 đường tròn

b) Ta có đều có trực tâm đồng thời là trọ̣ng tâm

Xét nằm ngoài đường tròn (O)

Ta lại có: nằm trong ( O ).

Câu 2: Cho tam giác , đường cao . Từ là điểm bất kỳ trên cạnh . Kẻ . Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn

Trả lời:

Vi ba tam giác có chung cạnh huyền nên ba đỉnh góc vuông Nằm trên đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của
Vậy 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn

Câu 3: Cho đường tròn tâm , đường kính và một dây bằng bán kính đường tròn. Tính các góc của .

Trả lời:

Tam giác có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều
Ta có: có nên can tại
là góc ngoài của
Vậy

Có thề li giải như sau: có trung tuyến bằng nửa cạnh đối xứng nên vuông tại

Vậy có

Câu 4: Cho tam giác , ba đường cao cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng 5 điểm thuộc 1 đường tròn.

Trả lời:

Ta có tứ giác IJKL là hình bình hành (dhnb)

Mà là hình chữ nhật có hai đường chéo là và
Xét tam giác vuông vuông tại

Xét tam giác vuông vuông tại

Vậy 6 điểm thuộc 1 đường tròn đường kính là đường chéo của hình chữ nhật.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho hình vuông , gọi là giao điểm hai đường chéo và . Gọi lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh rằng thuộc 1 đường tròn.

b) So sánh và .

Trả lời:

a. Kè vuông góc với tại

Xét tam giác , có:
Ta có:

+) Gọi là trung điểm của

Xét

Từ (1)(2)(3)

b. Xét đường tròn có là đường kính, là dây không đi qua tâm

Câu 2: Cho tam giác có là trực tâm. Lấy thuộc tia sao cho và nằm giữa . Gọi là hình chiếu của lên và là hình chiếu của lên . Chứng minh rằng các diểm cùng thuộc một dường tròn.

Trả lời:

Gọi là giao diểm của .

Ta thấy do cùng vuông góc suy ra cặp góc dồng vị .

Tương tự .

Kết hợp giả thiết suy ra .

Do dó , suy ra .

Mà nên , suy ra thuộc dường tròn dường kính .

Vì tam giác vuông tại nên ba diểm thuộc dường tròn dường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba diểm thuộc dường tròn dường kính .
Vậy các diểm cùng thuộc dường tròn dường kính .