BÀI 30: ĐA GIÁC ĐỀU

(14 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Đa giác là gì?

Trả lời:

Đa giác ABCDE (hình dưới) là hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác ABCDE có năm đỉnh là các điểm A, B, C, D, E; năm cạnh là các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA và năm góc là các góc EAB, ABC, BCD, CDE, DEA.

Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa về đa giác đều. Đặc điểm của đa giác đều là gì?

Trả lời:

Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.

Câu 3: Em hãy nêu khái niệm về phép quay thuận chiều, phép quay ngược chiều.

Trả lời:

Ta có khái niệm phép quay như sau: Phép quay thuận chiều (0 < < 360) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều quay của kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo (H.9.48a). Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều tâm O (H.9.48b). Phép quay 0và phép quay 360giữ nguyên mọi điểm.

Câu 4: Phép quay giữ nguyên một đa giác đều là phép quay như thế nào?

Trả lời:

Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm của H thành một điểm của H.

Người ta chỉ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều H thành các đỉnh của H thì phép quay đó giữ nguyên H.

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Tính số đo của mỗi góc của một ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh).

Trả lời:

-Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: .

-Mỗi góc của lục giác đều bằng: .

-Mỗi góc của bát giác đều bằng: .

Câu 2: Tính số cạnh của một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng .

Trả lời:

Gọi n là số cạnh của đa giác đều đó.

Ta có:

.

Nên

Do đó

Vậy n = 8.

Câu 3: Cho tam giác đều ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng DKFIEM là lục giác đều.

Trả lời:

Ta có hình vẽ:

Xét HDC vuông tại D, DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DM = HM. Ta lại có:

= 30^o nên = 60^o Do đó AHDM là tam giác đều.

Tương tự các tam giác HME, HEI, HIF, HFK, HKD cũng là các tam giác đều.

Lục giác DKFIEM có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau (bằng 120°) nên là lục giác đều.

Câu 4:

a) Tính số đường chéo của một đa giác đều n cạnh.

b) Đa giác đều nào có số đường chéo bằng số cạnh?

Trả lời:

a) Từ mỗi đình của hình n – giác lồi. kẻ được n-1 đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, n-3 đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có n đình nên kẻ được n.(n-3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình n - giác lồi là .

b) Giải phương trình ta được n = 5.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính các góc của tam giác ABC.

Trả lời:

Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:

Suy ra .

Ta có cân tại D. Do đó:

. Suy ra:

Câu 2: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D thì các điểm B, C, D tương ứng biến thành các điểm nào?

Trả lời:

Vì là hình vuông nên ;
tại là trung điểm của .
Do đó và

Ta có góc tạo bởi tia đến tia theo chiều quay của kim đồng hồ là:

Như vậy, phép quay thuận chiều tứ giác sẽ biến điểm thành điểm , biến các điểm thành các điểm .

Câu 3: Cho hình bát giác đều ABCDEGHK tâm I:

a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm E thì các điểm B,C,D,E,G,H,K tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm C thành điểm K thì các điểm A,B,D,E,G,H,K tương ứng biến thành các điểm nào?

Trả lời:

a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm

E:

Trong hình bát giác đều ABCDEGHK, các đỉnh được sắp xếp theo thứ tự từ A, B, C,..., K, cách đều nhau. Khi quay thuận chiều (theo chiều kim đồng hồ) tâm O, mỗi đỉnh sẽ quay đến vị trí tiếp theo.

Phép quay biến A thành E tương ứng là quay 4 vị trí thuận chiều (do A E là đi qua 4 cạnh). Vậy:

B quay 4 vị trí thành F,

C quay 4 vị trí thành G,

D quay 4 vị trí thành H,

E quay 4 vị trí thành K,

G quay 4 vị trí thành A,

H quay 4 vị trí thành B,

K quay 4 vị trí thành C.

b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm C thành K:

Quay ngược chiều (ngược kim đồng hồ), từ C đến K là 5 vị trí ngược chiều. Do đó, các đỉnh khác sẽ quay ngược 5 vị trí:

A quay 5 vị trí thành H,

B quay 5 vị trí thành K,

D quay 5 vị trí thành A,

E quay 5 vị trí thành B,

G quay 5 vị trí thành C,

H quay 5 vị trí thành D,

K quay 5 vị trí thành E.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1:

Cho một đa giác đều n đỉnh với tâm O. Gọi A là một trong các đỉnh của đa giác và B là đỉnh liền kề với A.
a) Tính số đo góc quay nhỏ nhất (theo chiều kim đồng hồ) biến A thành B.
b) Chứng minh rằng phép quay này giữ nguyên toàn bộ đa giác đều.

Trả lời:

a) Tính số đo góc quay nhỏ nhất (theo chiều kim đồng hồ) biến A thành B:

Số đo góc quay nhỏ nhất biến A thành B là góc ở tâm O giữa hai đỉnh liền kề. Góc này bằng:

b) Chứng minh rằng phép quay này giữ nguyên toàn bộ đa giác đều:

Phép quay góc (thuận chiều kim đồng hồ) quanh tâm O biến mỗi đỉnh A_i (với i ∈ {1,2,..., n}) thành A_{i + 1} trong đó A_{n + 1} =A₁ (quay hết một vòng). Vì các đỉnh của đa giác đều cách đều nhau trên đường tròn ngoại tiếp và các cạnh bằng nhau, nên sau phép

quay, hình dạng của đa giác không thay đổi. Do đó, phép quay giữ nguyên đa giác đều.

Câu 2: Một đồng hồ treo tường có hình dạng một đa giác đều 12 cạnh (tâm O). Trên đồng hồ, các số từ 1 đến 12 lần lượt được đánh dấu tại các đỉnh của đa giác.

a) Xác định góc quay (thuận chiều và ngược chiều) sao cho kim chỉ số 12 sau khi quay đi trùng đúng với số 9.

b) Nếu kim giây của đồng hồ đang ở vị trí số 6, hãy tính góc quay (thuận chiều) sao cho kim giây quay một vòng và trở lại vị trí ban đầu sau đúng 30 giây.

Trả lời:

a) Xác định góc quay (thuận chiều và ngược chiều) sao cho kim chỉ số 12 sau khi quay đi trùng đúng với số 9:

• Góc quay thuận chiều: Kim chỉ số 12 đến số 9 là đi qua 3 vị trí thuận chiều. Với , góc giữa hai đỉnh liền kề là:

Góc quay thuận chiều là:

• Góc quay ngược chiều: Kim chỉ số 12 đến số 9 ngược chiều đi qua 12 vị trí. Góc quay ngược chiều là:

b) Nếu kim giây của đồng hồ đang ở vị trí số 6, hãy tính góc quay (thuận chiều) sao cho kim giây quay một vòng và trờ lại vị trí ban đầu sau đúng 30 giây:
Kim giây thực hiện một vòng tròn hrìn chỉnh trong 30 giây. Vậy trong mỗi giây, kim quay được:

Tổng góc quay trong 30 giây là , nên kim trở lại vị trí ban đầu (số 6).