BÀI 28: ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP CỦA MỘT TAM GIÁC

(14 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa về đường tròn ngoại tiếp của một tam giác.

Trả lời:

Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Câu 2: Đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông, tam giác đề có đặc điểm gì?

Trả lời:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng

Câu 3: Em hãy nêu định nghĩa về đường tròn nội tiếp một tam giác.

Trả lời:

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Câu 4: Đường tròn nội tiếp tam giác đều có đặc điểm là gì?

Trả lời:

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng

Câu 5: Cho hình vẽ sau :

a) Hình nào có đường tròn (0) ngoại tiếp tam giác ABC?

b) Hình nào có đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC?

Em hãy giải thích các lựa chọn của mình.

Trả lời:

a) Hình a), đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua ba đình A, B, C của tam giác ABC.

b) Hình d), đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì nó tiếp xúc ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC.

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10cm và AC = cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trả lời:

Xét ABC vuông tại A, theo pythagore ta có:

BC² = AB² + AC²

BC² = 10² + ()²

BC² = 121

• BC = = 11 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A nên bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng nửa cạnh huyền BC hay R = BC/2 = 11/2 = 5,5 (cm)

Câu 2: Ba đường tròn tiếp xúc với nhau từng đôi một và tiếp xúc với các cạnh của tam giác như hình bên. Nếu mỗi đường tròn có bán kính là 3, thì chu vi của tam giác sẽ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Từ tâm P và Q vẽ PQ và CQ vuông góc với cạnh AD của tam giác

Các tam giác APB và DQC là nửa tam giác đều với PB = QC = 3

=> AB = CD = 3; BC = PQ = 6 => AD = 6 + 6

Vậy chu vi tam giác là: 18 + 18

Câu 3: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Trả lời:

Theo định lí sin ta có:

Tam giác ABC đều nên A = 60 => sinA =

• R =

Câu 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn có bán kính 4cm Tính diện tích S của tam giác ABC

Trả lời:

OA = OC = OC = 4cm

Tam giác ABC đều nên AO cũng là đường trung tuyến tam giác ABC

• AH = 3/2 AO = 3/2 . 4 = 6 (cm) mà

AH = => AB = 4

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 9cm AC = 12cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài IG.

Trả lời:

Gọi là tiếp điểm của đường tròn với
vuông tại , theo định lý Pytago ta có:
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

Do đó

Gọi , ta có:

Ta có là hình vuông, có:

Mà là trung điểm của nên:

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm và AC = 8cm ngoại tiếp đường tròn (1;7). Tính r

Trả lời:

Đường tròn tiếp xúc với các cạnh theo thứ tự
Ta có:
Cộng (1)(2)(3) vế theo vế, ta được:
Mà

Nên ta có: .

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính vuông góc Ab, CD. Trên bán kính AO lấy đoạn AI = , vẽ tia CI cắt (O) tại E. Tính R theo CE.

Trả lời:

Ta có

vuông tại , ta có:

nội tiếp đường tròn có cạnh là đường kính vuông tại

Hai tam giác vuông và có : chung

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho vuông tại A và ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là các giao điểm của (O) với các cạnh AB, AC và BC. Đường thẳng BO cắt đường thẳng EF tại I. Hãy tính .

Trả lời:

Ta có hình vẽ sau:

Ta có:

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ).
Vì là các tiếp tuyến của lần lượt tại nên là tia phân giác của (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Xét tứ giác có nên là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Lại có là các tiếp tuyến của tại nên (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
là hình vuông (hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau ) .
Mà là tứ giác nội tiếp .
(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Vậy .

Câu 2: Cho vuông tại A (. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng :

Trả lời:

a) Gọi E, F là tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB,AC

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
Do đó:

b) Tương tự câu a) ta có: mà vuông tại , do đó: