BÀI 31: HÌNH TRỤ VÀ HÌNH NÓN

(18 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (6 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu cách nhận biết hình trụ.

Trả lời:

Khi quay hình chữ nhật ABO'O một vòng quanh cạnh OO' cố định ta được một hình trụ.

- Hai đáy là hai hình tròn (O) và (O') bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

- Đường thẳng OO' gọi là trục của hình trụ.

- AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.

Câu 2: Nêu công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

Trả lời:

Diện tích mặt xung quanh hình trụ: Sxq = 2Rh,

trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao.

Thể tích hình trụ: V = S đáy. h = R²h,

trong đó S đáy là diện tích đáy, R là bán kính đáy, h là chiều cao.

Câu 3: Em hãy nêu các đặc điểm của hình nón.

Trả lời:

Khi quay tam giác vuông SOA (vuông ở O) một vòng quanh SO cố định thì ta được một hình nón đỉnh S, trong đó:

• Đáy của hình nón là hình tròn (O; OA), R = OA gọi là bán kính của hình nón.
• Mỗi đường sinh là một vị trí của SA khi quay. Vậy hình nón có vô số đường sinh dài bằng nhau.
• SO gọi là đường cao của hình nón. Độ dài đoạn SO được gọi là chiều cao của hình nón.

Câu 4: Em hãy kể tên đỉnh, đường cao, một bán kính đáy và một đường sinh của hình nón trong hình sau:

Trả lời:

Đỉnh: S

Đường cao: SO

Một bán kính đáy: OP

Một đường sinh: SP

Câu 5: Diện tích mặt xung quanh của hình nón được tính như thế nào? Em hãy nêu công thức.

Trả lời:

Sxq = .r.l

Trong đó: r là bán kính đáy; l là độ dài đường sinh.

Câu 6: Em hãy nêu công thức tính thể tích của hình nón.

Trả lời:

V = S đáy. h = r²h,

Trong đó S đáy là diện tích đáy, r là bán kính đáy, h là chiều cao.

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 2 cm, chiều cao là 6 cm. Em hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ trên.

Trả lời:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Sxq = 2Rh = 2..2.6 = 24 24.3,14 = 75,36 (cm²)

Thể tích hình trụ là:

V = R²h = .2².6 = 24 24.3,14 = 75,36 (cm³)

Câu 2: Nếu chiều cao của hình nón và bán kính đáy của nó đều tăng gấp đôi, thể tích của hình nón sẽ thay đổi như thế nào?

Trả lời:

Ta có: công thức thể tích V = r²h

Khi r và h tăng gấp đôi, V tăng lên 2² x 2 = 8 lần so với ban đầu

Câu 3: Khi tăng chiều cao h của hình trụ gấp đôi mà giữ nguyên bán kính đáy, diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ sẽ thay đổi như thế nào?

Trả lời:

Ta có: diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh, nên nếu h tăng gấp đôi, Sxq cũng tăng gấp đôi

Thể tích: V = R²h, nên nếu h tăng gấp đôi, V cũng tăng gấp đôi

Câu 4: Một hình nón có bán kính đáy r = 4 cm, chiều cao h = 3cm. Tính:

a) Độ dài đường sinh l

b) Diện tích xung quanh hình nón.

Trả lời:

a) Ta có: l =

b) Sxq = .r.l = .4.5 = 20 cm²

Câu 5: Một hình nón có thể tích là V = 50,24 cm3, bán kính đáy r = 2 cm. Tính chiều cao h của hình nón (lấy = 3,14)

Trả lời:

Ta có thể tích hình nón: V = r²h => h =

Câu 6: Một thùng đựng nước hình trụ có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy R = 7 cm. Nếu muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của thùng (không bao gồm đáy trên), diện tích cần sơn là bao nhiêu?

Trả lời:

Diện tích cần sơn bao gồm diện tích xung quanh và diện tích một đáy:

• Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh = 2 . 7 . 20 = 280 cm²
• Diện tích một đáy: S đáy = .R² = . 7² = 49 cm²
• Tổng diện tích: S = Sxq + S đáy = 280 + 49 = 329 cm²

Với = 3,14, S = 329x3,14 = 1032,06 cm2

Vậy, nếu muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của thùng, diện tích cần sơn là 1032,06 cm²

3. VẬN DỤNG (4 CÂU)

Câu 1: Một hình trụ có chiều cao là 18 cm và diện tích toàn phần là 176cm2. Chứng minh rằng diện tích xung quanh hình trụ bằng 9 lần diện tích đáy.

Trả lời:

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h.

Vì diện tích toàn phần bằng 176 cm² nên ta có:

2R(h + R) = 176

<=> 2R(18 + R) = 176

<=> R² + 18R – 88 = 0

Ta có: R1 = 4 (chọn); R2 = -22 (loại)

Vậy diện tích đáy hình trụ là S đáy = . R² = 16 (cm²)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

Sxq = 2Rh = .4.18 = 144 (cm²)

Do đó: (lần)

Câu 2: Một hình nón có bán kính đáy bằng 20 cm, số đo thể tích (tính bằng cm²) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính bằng cm²). Tính chiều cao của hình nón.

Trả lời:

Gọi h là chiều cao của hình nón. Thể tích của hình nón bằng:

V =

Đường sinh SA =

Diện tích xung quanh của hình nón bằng: Sxq = .20.

Do V = 4Sxq nên:

= 4. .20.

<=> 5h = 3

<=> 25h² = 9(h² + 400)

<=> h² = 225

<=> h = 15

Vậy chiều cao của hình nón bằng 15 cm.

Câu 3: Một phễu hình nón có bán kính miệng r = 6cm và chiều cao h = 8cm. Người ta đổ đầy một lượng nước vào cái phễu, sau đó, tiếp tục đổ lượng nước đó vào đầy một cái bình hình trụ có bán kính R = 3cm. Hỏi chiều cao của nước trong bình là bao nhiêu?

Trả lời:

Thể tích cái phễu chính là thể tích lượng nước:

V nón = r²h = 6²8 =

Do lượng nước cũng đổ đầy cái bình hình trụ, nên ta có: thể tích hình trụ bằng thể tích lượng nước:

V trụ = R²h (với h là chiều cao của nước trong bình)

= 3²h

= 9h

Ta có: V trụ = V nón

9h =

<=> h = (cm)

Vậy chiều cao nước trong bình là (cm)

Câu 4: Một hình nón có bán kính đáy r = 4cm và chiều cao h = 9 cm. Người ta cắt bình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy, sao cho phần nón bị cắt có chiều cao h1 = 3cm. Tính thể tích của phần hình nón còn lại.

Trả lời:

Thể tích toàn phần của hình nón:

V toàn phần = r²h = 4²9 = 48

Do hình nón bị cắt song song với đáy nên:

Thể tích phần nón bị cắt là:

V bị cắt = r₁²h₁ = . ()² . 3 =

Vậy, thể tích phần còn lại là: V còn lại = V toàn phần – V bị cắt = 48 - = (cm³)

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác vuông tại . Gọi theo thứ tự là thể tích của các hình sinh ra khi quay tam giác một vòng xung quanh các cạnh . Chứng minh rằng

Trả lời:

Gọi độ dài các cạnh của tam giác là và là chiều cao dựng từ đỉnh xuống cạnh huyền . Ta có .

Theo giả thiết ta có: , suy ra .

Tương tự ta có và .

Do đó .

Vậy .

Câu 2: Cho hình trụ có bán kính đáy là 10cm và diện tích xung quanh là 4207 cm². Vẽ một đường sinh PQ cố định. Lấy điểm M trên đường tròn đáy, có chứa điểm Q. Xác định vị trí của điểm M để PM lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Trả lời:

Gọi bán kính hình trụ là và chiều cao hình trụ là .

Ta có: suy ra

Ta có là đường sinh nên và PQ vuông góc với mặt phẳng đáy. Suy ra .
Xét vuông tại , ta có:

Do đó PM lớn nhất lớn nhất là đường kính

Vậy khi QM là đường kính của đường tròn đáy.