BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

(15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu cách giải phương trình tích.

Trả lời:

Để giải phương trình tích (ax +b) (cx +d) = 0, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Câu 2: Em hãy giải phương trình sau (2x + 8)(3x + 6) = 0

Trả lời:

Ta có: (2x + 8)(3x + 6) = 0

Nên 2x + 8 = 0 hoặc 3x + 6 = 0

• 2x + 8 = 0 => x = -4
• 3x + 6 = 0 => x = -2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -4 và x = -2

Câu 3: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần tìm điều kiện xác định là gì?

Trả lời:

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Câu 4: Em hãy nêu cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Trả lời:

Thực hiện 4 bước:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy giải các phương trình sau:

a) (x² – 9)(4 – x) = 0

b) (5x + 3)(2x – 3) = 0

Trả lời:

a) (x² – 9)(4 – x) = 0

+ x² – 9 = 0

x² = 9

x = -3 hoặc x = 3

+ 4 – x = 0

x = 4

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là x = -3; x = 3 và x = 4.

b) (5x + 3)(2x – 3) = 0

+ 5x + 3 = 0

x =

+ 2x – 3 = 0

x =

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = ; x = .

Câu 2: Giải các phương trình:

a) 2x (3x – 1) = (3x – 1)

b) (x – 1)(2x + 3) + 2x = 2

Trả lời:

a) 2x (3x – 1) = (3x – 1)

2x(3x – 1) – (3x – 1) = 0

(3x – 1)(2x – 1) = 0

Ta có (3x – 1)(2x – 1) = 0 nên 3x – 1 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

3x – 1 = 0

3x = 1

x =

2x – 1 = 0

2x = 1

x =

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = và x =

b) (x – 1)(2x + 3) + 2x = 2

(x – 1)(2x + 3) + 2x – 2 = 0

(x – 1)(2x + 3) + 2(x – 1) = 0

(x – 1)(2x + 5) = 0

Ta có (x – 1)( 2x + 5) = 0 nên x – 1 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

x – 1 = 0

x = 1

2x + 5 = 0

x = -

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = -

Câu 3: Giải các phương trình:

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

a)

vì > 0 x nên

4x – 8 + (4 – 2x) = 0

4x – 8 + (4 – 2x) = 0

2x – 4 = 0

x = 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2

b)

ĐKXĐ x

(x + 1)² = 0

x + 1 = 0

x = -1

Ta thấy x = -1 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c)

ĐKXĐ x

x – 5 = 3(x + 5)

2x = -20

x = -10

Ta thấy x = -10 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -10

d)

ĐKXĐ x

4 – 2(x – 3) = 0

2x = 10

x = 5

Ta thấy x = 5 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5.

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Trả lời:

a)

ĐKXĐ x

3(7x + 7) = 2(x – 1)

19x = -23

x =

Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = .

b)

ĐKXĐ x x

6 – 14 x = x + 1

15x = 5

x =

Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =

c)

ĐKXĐ x

1 + 3(x – 2) = 3 – x

4x = 8

x = 2

Ta thấy x = không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. VẬN DỤNG (5 CÂU)

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) (x² – 5x)² + 10(x² – 5x) + 24 = 0

b) (x² + 5x)² – 2(x² + 5x) = 24

Trả lời:

a) (x² – 5x)² + 10(x² – 5x) + 24 = 0 (1)

Đặt x² – 5x = t khi đó (1) trở thành:

t2 + 10t + 24 = 0

t2 + 4t + 6t + 24 = 0

t(t + 4) + 6(t + 4) = 0

(t + 4)(t + 6) = 0

t = -4 hoặc t = -6

Với t = -4 ta có:

x² – 5x = -4

x² – 5x + 4 = 0

x² – x – 4x + 4 = 0

(x – 1)(x – 4) = 0

x = 1 hoặc x = 4

Với t = -6 ta có:

x² – 5x = -6

x² – 5x + 6 = 0

x² – 2x - 3x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

x = 2 hoặc x = 3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là x = 1; x = 2; x = 3; x = 4.

b) (x² + 5x)² – 2(x² + 5x) = 24 (1)

Đặt x² + 5x = t khi đó (1) trở thành:

t2 – 2t – 24 = 0

t2 + 4t -6t – 24 =0

(t + 4)(t – 6) = 0

t = -4 hoặc t = 6

Với t = -4 ta có:

x² + 5x = -4

x² + 5x + 4 = 0

(x + 1)(x + 4) = 0

x = -1 hoặc x = -4

Với t = 6 ta có:

x² + 5x = 6

x² + 5x - 6 = 0

(x - 1)(x + 6) = 0

x = 1 hoặc x = -6

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là x = 1; x = -1; x = -4; x = -6.

Câu 2: Tìm x sao cho biểu thức có giá trị bằng 2.

Trả lời:

Biểu thức có giá trị bằng 2 tức là = 2

ĐKXĐ: x

=

(2x – 9)(3x – 2) + 3x(2x – 5) = 2(3x – 2)(2x – 5)

6x² – 4x – 27x + 18 + 6x² – 15x = 12x² – 30x – 8x + 20

-8x = 2

x =

Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy x = là giá trị cần tìm.

Câu 3: Tìm x sao cho hai biểu thức A và Bcó giá trị bằng nhau, với

A =

Trả lời:

A và B có giá trị bằng nhau nên

ĐKXĐ x

2x( 2 + ) = 0

2x = 0 hoặc 2 + = 0

x = 0 hoặc = -2

x = 0 hoặc x = -1

Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = -1

Câu 4: Tìm x sao cho biểu thức A và B có giá trị bằng nhau, với A = x + ; B =

Trả lời:

A và B có giá trị bằng nhau nên x + =

ĐKXĐ

x + -

+ -

-() + (x – 1) = 0

-(x – 1) + (x – 1) = 0

(x – 1)( 1 -) = 0

(x – 1)(1 – x)(1 + x + x² ) = 0

x – 1 = 0 hoặc 1 – x = 0 hoặc 1 + x + x² = 0

x = 1 hoặc x = 1 hoặc 1 + x + x² = 0 vô nghiệm vì 1 + x + x² = (x + )²

Ta thấy x = 1 thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1

Câu 5: Giải các phương trình:

a) x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 24

b) (x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180

Trả lời:

a) x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 24

(

Đặt ta được:

y(y – 2) = 24

y(y + 4) – 6(y + 4) = 0

(y + 4)(y – 6) = 0

y = -4 hoặc y = 6

Với y = -4 ta có

suy ra phương trình vô nghiệm.

Với y = 6 ta có:

x = 2 hoặc x = -3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -3, x = 2

b) (x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180

[(x +2)(x – 5)][(x + 3)(x – 6)] = 180

(– 3x – 10)( – 3x – 18) = 180

Đặt – 3x – 14 = y ta được:

(y + 4)(y – 4) = 180

y² = 196

y = +- 14

Với y = -14

– 3x = 0

x = 0 hoặc x = 3

Với y = 14

– 3x – 28 = 0

+ 4x – 7x – 28 = 0

x(x + 4) – 7(x + 4) = 0

(x + 4)(x – 7) = 0

x = -4 hoặc x = 7

Vậy phương trình có 4 nghiệm x =-4, x = 0, x = 3, x = 7.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.

Trả lời:

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x (km/h) (x>0)

Vận tốc người đi xe máy là: km/h

Thời gian người đi xe đạp đi là: h

Thời gian người đi xe máy đi là: h

Do xe máy đi sau 1h30' và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình:

100 = 40 + 3x + 2x

5x = 60

x = 12 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h

Câu 2: Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10 km/h và đi nửa sau kém hơn dự định 6 km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB ?

Trả lời:

Gọi vận tốc ô tô dự định đi quãng đường AB là: x(km / h)(x > 6)

Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc là: x + 10 (km/h)

Xe đi nửa quãng đường sau với vận tốc là: x – 6 (km/h)

Theo bài ra ta có:

2(x + 10)(x – 6) = x(x – 6) + x(x + 10)

4x = 120

x = 30 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian dự định đi quãng đường AB là 60 : 30 = 2 (giờ)