1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Bài 1: Trên trục số , gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt . (H4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số Hãy biểu thị mỗi vectơ và theo vectơ .

Giải chi tiết:

Do biểu diễn số 1, M biểu diễn số 4, nên hai vectơ và có cùng phương, cùng hướng và .

Suy ra .

Cũng vậy, do A biểu diễn số 1, N biểu diễn số nên hai vectơ và có cùng phương, ngược hướng và .

Suy ra .

Bài 2: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ theo các vectơ .

b) Hãy biểu thị vectơ theo các vectơ từ đó biểu thị vectơ theo các vectơ .

Giải chi tiết:

a) .

b) Vì nên

.

Bài 3: Tìm tọa độ của .

Giải chi tiết:

.

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ , , theo các vectơ .

b) Tìm tọa độ của các vectơ + ,.

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ ,.

Giải chi tiết:

a) .

b) Vì nên .

Vì nên .

Suy ra .

c) Vì và nên .

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x_o; y_o). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy.

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo .

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo .

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của theo .

d) Biểu thị theo các vectơ .

Giải chi tiết:

a) Trên trục , điểm biểu diễn số :

.

b) Trên trục , điểm biểu diễn số :

.

c) Hình chữ nhật có độ dài hai cạnh và , suy ra độ dài đường chéo .

d) Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta được .

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm và

a) Tìm tọa độ của các vectơ .

b) Biểu thị vectơ theo các vectơ và tìm tọa độ của .

c) Tìm độ dài của vectơ .

Giải chi tiết:

a) Theo HĐ4: , .

b) Ta có:

Suy ra .

c) Theo nhận xét: .

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm .

a) Các điểm có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm để là một hình bình hành.

Giải chi tiết:

a) Hai vectơ và không cùng phương (vì ). Do đó các điểm A, B, O không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.

b) OABM là một hình bình hành khi và chỉ khi .

Ta có: và

Do đó .

Vậy điểm cần tìm là M(1; 2).

Bài 5: Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Giải chi tiết:

Trong 12 giờ, tâm bão chuyển động thẳng đều từ điểm đến điểm . Suy ra .

Gọi là điểm ứng với vị trí tâm bão tại thời điểm 9 giờ. Khi đó và hay .

Từ đó ta có hệ phương trình

Giải hệ ta được và .

Vậy .

BÀI TẬP

Bài 4.16: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm .

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Giải chi tiết:

a) .

b) Do nên tam giác OMN vuông tại M. Do OM = MN nên tam giác OMN vuông cân tại M.

Bài 4.17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ và các điểm

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm để OMNP là một hình bình hành.

Giải chi tiết:

a) Do nên .

.

Vì nên .

Vì nên .

b) Từ giả thiết, suy ra và . Do nên hai vectơ và không cùng phương.

Do đó O, M, N không thẳng hàng.

c) Giả sử tìm được điểm P sao cho OMNP là một hình bình hành. Khi đó Suy ra điểm P(6; -9) là điểm cần tìm.

Bài 4.18: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm .

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra và

a) Vì nên các vectơ và không cùng phương. Suy ra A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi là trung điểm AB. Khi đó:

.

Vậy .

c) Gọi là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

.

Vậy .

d) Điểm O(0; 0) là trọng tâm tam giác ABD, nên:

Vậy điểm cần tìm

Bài 4.19: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ =(3;4). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Giải chi tiết:

Trên mặt phẳng tọa độ ta biểu diễn bởi vectơ . Gọi là điểm biểu diễn vị trí của tàu tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Khi đó do nên

Vậy sau 1,5 giờ tàu đến vị trí điểm .

Bài 4.20: Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Giải chi tiết:

- Quân mã đi theo hình chữ L: hoặc tiến 1 ô rồi sang trái (hoặc phải) 2 ô, hoặc tiến 2 ô rồi sang trái (hoặc phải 1 ô).

- Quân mã không bị cản bởi bất cứ quân nào trên đường đi; chỉ bị cản khi ô đích đến là quân cờ cùng màu.

Vậy quân mã ở ô (1; 2) trên bàn cờ được phép di chuyển tới những ô (0; 0), (2;0), (3; 1), (3; 3), (2; 4) và (0; 4).