BÀI 7.CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. KHÁI NIỆM VECTƠ

Bài 1: Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B. Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilomet?

Giải chi tiết:

Gọi điểm mà tàu rẽ là C, khi đó: AC = CB = 10 km.

Suy ra tam giác ACB vuông cân tại C.

Từ đó, và AB = km.

Vậy khi tàu chạy thẳng từ A tới B (không đổi hướng), thì tàu phải đi theo hướng và phải đi 14,14 km.

Bài 2: Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC.

Giải chi tiết:

Các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là:

.

2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU

Bài 1: Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng:

a) Các làn đường song song với nhau.

b) Các xe chạy theo cùng một hướng.

c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Giải chi tiết:

Nhận xét đúng: a, c.

Bài 2: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vecto a và AB được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ a và x được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ a và các vectơ ngược hướng với vecto a.

Giải chi tiết:

Vectơ cùng hướng với vectơ :

Vectơ ngược hướng với vectơ : .

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD, AB < CD. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ và ; và và . Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau không?

Giải chi tiết:

+) và : độ dài bằng nhau, không cùng phương, không cùng hướng.

+) và : độ dài khác nhau, AB < CD, cùng phương, ngược hướng.

+) và : độ dài bằng nhau, không cùng phương, không cùng hướng.

Không cặp nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau.

Bài 4 : Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B.

a) và : ngược hướng.

b) và : cùng phương.

c) và : cùng hướng.

d) và : ngược hướng.

Giải chi tiết:

Đáp án: d.

Bài 5: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế của các ca nô A, B.

b) Trong các vectơ những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Giải chi tiết:

a) Độ lớn của vectơ vận tốc tương ứng là 3, 18, 12 (km/h). Do đó tỉ lệ độ dài giữa chúng là: .

b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nước nên các vectơ vận tốc và cùng phương và ngược hướng.

Vậy trong các vectơ có các cặp vectơ cùng phương là:

và , và , và .

Các cặp vectơ ngược hướng là:

và , và .

BÀI TẬP

Bài 4.1: Cho ba vectơ , đều khác . Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) đều cùng hướng với ;

b) Nếu không cùng hướng với thì ở ngược hướng với ;

c) Nếu và đều cùng phương với thì và cùng phương;

d) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng;

Giải chi tiết:

Câu đúng : a, b, c

Bài 4.2: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Giải chi tiết:

- Các cặp vectơ cùng phương: và và và .

- Các cặp vectơ ngược hướng: và và .

- Cặp vectơ bằng nhau: và .

Bài 4.3: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi .

Giải chi tiết:

Giả sử tứ giác ABCD là một hình bình hành.

Khi đó và . Suy ra hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó .

Ngược lại, giả sử tứ giác có .

Khi đó và hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai đường thẳng trùng nhau thì bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Điều này không xảy ra vì ABCD là một hình tứ giác.

Vậy . (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là một hình bình hành.

Bài 4.4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vecto khác 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Giải chi tiết:

.

Các nhóm gồm các vectơ bằng nhau:

Bài 4.5: Trên mặt phẳng tọa độ , hãy vẽ các vectơ với , .

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ = . Hỏi vật thể đó có qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Giải chi tiết:

a) Dựng các điểm và .

Khi đó .

Suy ra hai tam giác và là các tam giác vuông đồng dạng.

Do đó .

Suy ra và .

Như vậy, vectơ cùng hướng với vectơ và có độ dài gấp ba lần độ dài của vectơ .

b) Vì cùng hướng với nên vật đó sẽ đi qua . Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng và nên sau 3 giờ vật đó sẽ tới .