1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi x mét (0 < x < 10) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường. Hãy tính theo x:

a. Độ dài cạnh PQ của mảnh đất.

b. Diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn.

Giải chi tiết:

a) .

b) Diện tích của mảnh đất: .

Bài 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. B.

C. D.

Giải chi tiết:

Đáp án C.

Bài 3: Cho hàm số y = (x -1)(2 - 3x).

a. Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó.

b. Thay dấu ? bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

Giải chi tiết:

a) Ta có: y = =

Hàm số có là hàm bậc hai, hệ số:

.

b)

Bài 4: Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: h = 19,6−4,9t² ; h,t≥0.

a. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất?

b. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

Giải chi tiết:

a) Viên bị chạm đất khi h = 0

Hay

(do .)

Vậy sau 2 giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất.

b) Tập xác định: D =

Ta có:

Tập giá trị: [0; 19,6].

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Xét hàm số y=S(x)=−2x²+20x(0<x<10).

a. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diến tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số y=S(x)=−2x²+20x trên khoảng (0;10) như trong hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số y=S(x)=−2x²+20x có giống với đồ thị của hàm số y=S(x)=−2x² hay không?

b. Quan sát dạng đồ thị của hàm số y=S(x)=−2x²+20x trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.

c. Thực hiện phép biến đổi
y=−2x²+20x = −2(x²−10x)=−2(x²−2.5.x+25)+50=−2(x−5)²+50

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Giải chi tiết:

a)

Dạng đồ thị của hàm số có giống với đồ thị của hàm số .

b) Tọa độ điểm cao nhất: (5; 50).

c) Giá trị lớn nhất của là 50 tại .

Suy ra giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất là 50.

Vậy để diện tích mảnh đất lớn nhất thì hai cột góc rào phải cách bờ tường 5 m.

Bài 2: Tương tự HĐ 2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau:

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy hoàn thành bảng sau đây:

Giải chi tiết:

Hàm số	Hệ số a	Bề lõm của đồ thị	Tọa độ điểm cao nhất/ thấp nhất	Trục đối xứng
	1	Quay lên	( -1;1)	x= -1
	-2	Quay xuống	(

Bài 3: Vẽ parabol . Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Giải chi tiết:

• Tọa độ điểm đỉnh:

• Khoảng đồng biến:

• Khoảng nghịch biến:

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là tại .

Bài 4: Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt. Biết rằng trụ tháp dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m là 20m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng (*) (do đồ thị hàm số đi qua O(0; 0)).

Đồ thị hàm số sẽ đi qua điểm có tọa độ (27; 0) và (2,26; 20), thay tọa độ vào hàm số (*) ta có hệ phương trình:

Ta có hàm số .

Tọa độ đỉnh của parabol là: .

Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu là khoảng mét.

BÀI TẬP

Bài 6.7: Vẽ các đường parabol sau:

a) b)

c) d)

Giải chi tiết:

a) Tọa độ đỉnh . Trục đối xứng . Giao điểm với là .

Giao điểm với là và .

b) Toạ độ đỉnh . Trục đối xứng . Giao với là .

Giao với là .

c) Toạ độ đỉnh . Trục đối xứng . Giao với là .

Đồ thị tiếp xúc với tại điểm .

d) Toạ độ đỉnh . Trục đối xứng . Giao với là .

Đồ thị không cắt .

Bài 6.8: Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7 hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Giải chi tiết:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng . Hàm số nghịch biến trên khoảng .

b) Hàm số đồng biến trên khoảng . Hàm số nghịch biến trên khoảng

c) Hàm số đồng biến trên khoảng . Hàm số nghịch biến trên khoảng .

d) Hàm số đồng biến trên khoảng . Hàm số nghịch biến trên khoảng

Bài 6.9: Xác định parabol . trong mỗi trường hợp sau:

a. Đi qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 4)

b. Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x =1

c. Có đỉnh I(1; 2)

d. Đi qua điểm A(-1; 1) và có tung độ đỉnh -0,25.

Giải chi tiết:

a) Thay tọa độ điểm A và B vào hàm số ta có hệ phương trình:

Vậy parabol

b) Đồ thị có trục đối xứng

Thay tọa độ của A vào hàm số:

Ta có hệ phương trình:

Vậy parabol

c) Có đỉnh

Thay tọa độ của I vào hàm số:

Ta có hệ phương trình:

Vậy parabol .

d) Điểm đỉnh của parabol có tọa độ , thay tọa độ vào hàm số :

Thay tọa độ của A vào hàm số:

Ta có hệ phương trình:

Suy ra:

Vậy parabol .

Bài 6.10: Xác định parabol , biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; -12).

Giải chi tiết:

Có đỉnh

Thay tọa độ của I vào hàm số:

Thay tọa độ của A vào hàm số:

Ta có hệ phương trình:

Bài 6.11: Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai . Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức Δ, trong mỗi trường hợp sau:

a. (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

b. (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

c. (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành.

d. (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Giải chi tiết:

a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì

• Đồ thị phải quay lên nên a >0.
• Đồ thị không cắt trục hoành nên < 0.

b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

• Đồ thị phải quay xuống nên a < 0.
• Đồ thị không cắt trục hoành nên < 0.

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành thì:

• Đồ thị phải quay lên nên a > 0.
• Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên > 0.

d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

• Đồ thị phải quay lên nên a > 0.
• Đồ thị tiếp xúc với trục hoành nên = 0.

Bài 6.12: Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau:

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng là 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó cổng parabol là một phần của đồ thị hàm số dạng (do parabol đi qua gốc tọa độ nên hệ số tự do bằng 0).

Từ giả thiết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 8m, suy ra . Vì chiều cao của cổng tính từ điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5m là 2,93 m nên ta có .

Parabol đi qua các điểm có tọa độ A(8; 0) và B(0,5; 2,93).

Thay tọa độ của A, B vào hàm số ta có:

.

Suy ra có hàm số

Hàm số có đỉnh

Suy ra chiều cao của cổng là m. Kết quả của An gần chính xác.

Bài 6.13 : Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a. Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) của nó.

b. Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Giải chi tiết:

a) Nửa chu vi của hình chữ nhât là

Chiều dài hình chữ nhật là

Diện tích hình chữ nhật là

Như vậy, diện tích của mảnh vườn là hàm số của chiều rộng .

Mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất tức là hàm số đạt giá trị lớn nhất, tức là:

Dấu xảy ra khi

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất khi nó có kích thước .

Bài 6.14 : Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một parabol có phương trình y=x²+x, trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vật so với mặt đất

a. Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.

b. Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Giải chi tiết:

a. Đồ thị hàm số y= x²+x có đỉnh là I().

Suy ra độ cao cực đại của vật là: 250 : 3 ≈83,3 m

b. Điểm chạm đất sau khi bay của vật có tọa độ A(a; 0) với a là số thực dương.

Ta có: 0 = x²+x

⇔x₁ =0;x₂=

Suy ra: a= .

Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O là: ≈333,3 m.