1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = 0,5x² B = 1−x² C = x²+x+1 D = (1-x)(2x+1).

Giải chi tiết:

- Chúng đều là đa thức (của biến )

- Bậc của đa thức là bậc 2.

Bài 2: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.

; ;

; .

Giải chi tiết:

Đáp án C.

Bài 3: Cho hàm số bậc hai y=f(x)=x²−4x+3.

a. Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b. Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng (−∞;1),(1;3);(3;+∞), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c. Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Giải chi tiết:

a) a=1

f(0)=3, f(1)=0, f(2)=-1, f(3)=0, f(4)=3.

f(0),f(4) cùng dấu với a,

f(2) trái dấu với a.

b) +) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

c) +) : và cùng dấu với nhau

+) và trái dấu với nhau

+) và cùng dấu với nhau.

Bài 4: Cho đồ thị hàm số y=g(x)=−2x²+x+3 như Hình 6.18.

a. Xét trên từng khoảng (−∞;1);(−1;32);(32;+∞), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?

b. Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Giải chi tiết:

a)

+) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

b)

+) : và cùng dấu với nhau

+) và trái dấu với nhau

+) và cùng dấu với nhau.

Bài 5: Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:

• Trường hợp a > 0

• Trường hợp a < 0

Giải chi tiết:

Bài 6 : Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) ;

b) ;

c) .

Giải chi tiết:

a)

và nên với mọi .

b)

và nên f(x) có nghiệm kép và với mọi .

c)

và có hai nghiệm phân biệt là , . Ta có bảng xét dấu sau:

x
f(x)

Do đó: với mọi

Và với mọi .

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m², hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = −2x²+20x với 48.

Giải chi tiết:

.

Bài 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a. −5x²+x−1≤0 b. x² -8x+16≤0 c. x²−x-6>0

Giải chi tiết:

a) Tam thức

Có: và nên luôn âm với mọi .

Tập nghiệm .

b) Tam thức

Có và nên luôn dương với mọi .

Bất phương trình có nghiệm duy nhất là .

c) Tam thức

Có nên có hai nghiệm là .

Tập nghiệm .

Bài 3: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai h(t) = −4,9t²+20t+1, ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Giải chi tiết:

Xét bất phương trình:

Nghiệm của phương trình là và .

Do đó nghiệm của bất phương trình là .

Vậy khoảng thời điểm (s) trong quá trình bay của quả bóng thì nó sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.

BÀI TẬP

Bài 6.15: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a. 3x²−4x+1 b. x²+2x+1

c. −x²+3x−2 d. −x²+x−1

Giải chi tiết:

a) có hai nghiệm và . Vì nên khi và khi .

b) với mọi và .

c) có hai nghiệm và . Vì nên khi và khi .

d) với mọi .

Bài 6.16: Giải các bất phương trình bậc hai:

a. x²−1≥0 b. x²−2x−1<0

c. −3x²+12x+1≤0 d. 5x²+x+1≥0

Giải chi tiết:

a)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm là .

b)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm là .

c)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm là .

d)

Vì và nên với mọi .

Tập nghiệm .

Bài 6.17: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi x∈R.

x²+(m+1)x+2m+3

Giải chi tiết:

Vì nên tam thức bậc hai đã cho dương với mọi khi và chỉ khi

,

tức là .

Bài 6.18: Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v₀ = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Giải chi tiết:

Độ cao của vật so với mặt đất được cho bởi công thức:

Vật cách mặt đất không quá 100m khi và chỉ khi , tức là

hoặc .

Do .

Bài 6.19: Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Giải chi tiết:

Vì điểm M nằm giữa A và B nên .

Gọi lần lượt là diện tích hình tròn đường kính AB, AM và MB.

Ta có:

Do đó, từ điều kiện ta được bất phương trình bậc hai

hoặc .

Kết hợp với điều kiện , ta được .