A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn . Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. (1; 1) B. (2; 0) C. (3; 2) D. (3; -2).

Giải chi tiết:

Đáp án C

Bài 2: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn + = 3 ?

A. Vô số B. 1 C. 2 D. 3

Giải chi tiết:

Đáp án A

Bài 3: Biết rằng parabol y = x² +bx + c có đỉnh là I(1; 4). Khi đó giá trị của b + c là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.

Giải chi tiết:

Đáp án C

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x + 2y -5 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Vectơ =(1;2) là một vectơ pháp tuyến của Δ

B. Vectơ =(2;−1) là một vectơ chỉ phương của Δ.

C. Đường thẳng Δ song song với đường thẳng d:

D. Đường thẳng Δ có hệ số góc k = 2.

Giải chi tiết:

Đáp án D

Bài 5: Trong khai triển nhị thức Newton của (2 + 3x)⁴, hệ số của x² là:

A. 9 B. C. 9. D. 36.

Giải chi tiết:

Đáp án D

Bài 6: Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là:

A. . B. . C. . D. .

Giải chi tiết:

Đáp án B

B. TỰ LUẬN

Bài 7: Cho các mệnh đề:

P: "Tam giác ABC là tam giác vuông tại A";

Q: "Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²"

a. Hãy phát biểu các mệnh đề P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, ⇒ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b. Dùng các khái niệm "điều kiện cần" và "điều kiện đủ" để diễn rả mệnh đề P ⇒ Q.

c. Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến AM=BC. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Giải chi tiết:

a.

• P ⇒ Q: Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC².

• Q ⇒ P: Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC² thì tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

• P ⇔ Q: Tam giác ABC là tam giác vuông tại A khi và chỉ khi tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC².

• ⇒ : Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² ≠ BC².

b.

• Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC².

• Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC² là điều kiện cần để tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

c. Vì nếu tam giác ABC có trung tuyến AM= BC thì tam giác ABC vuông tại A.

Nên tập hợp X = Y.

Bài 8: a. Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

b. Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D.

Giải chi tiết:

a. Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục tọa độ:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh của tứ giác, với O(0; 0), A(1; 0), B(), C(0; 6).

b. Tính giá trị của F lần lươt tại các đỉnh của tứ giác OABC, ta được:

• Giá trị lớn nhất của F trên miền D là: F(0; 6) = 18.

• Giá trị nhỏ nhất của E trên miền D là: F(0; 0) = 0.

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c với đồ thị là parabol (P) có đỉnh I()

và đi qua điểm A(1; 2).

a. Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng y = a(x - h)² + k, trong đó I(h, k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b. Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y=f(x).

c. Giải bất phương trình f(x) ≥ 0.

Giải chi tiết:

a. y = a(x - h)² + k, mà parabol đi qua điểm I() nên ta có: y=a(x−)²+

Mà parabol đi qua A(1; 2) nên: 2=a(1−)² +

⇒ a = 1.

Vậy parabol dạng: y = x² -5x +6.

b.

• Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng: (;+∞)

• Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng: (−∞;).

c. f(x)=0 có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = 3, nên f(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 hoặc x ≤ 2.

Bài 10: Giải các phương trình chứa căn thức sau:

a.

b.

Giải chi tiết:

a. Bình phương hai vế của phương trình được:

2x² −6x+3 = x² −3x+1

⇔x² −3x +2 =0

⇔ x = 2 hoặc x = 1.

Thử lại giá trị:

• x = 2 không thỏa mãn phương trình.

• x = 1 không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b. Bình phương hai vế của phương trình được:

x² +18x−9 = 4x²−12x+9

⇔−3x²+30x−18=0

⇔ x = 5+hoặc x = 5−.

Thử lại giá trị:

• x = 5 + thỏa mãn phương trình.

• x = 5− không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 5+

Bài 11: Từ các chữ số 0; 1; 2;.....; 9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?

Giải chi tiết:

Các số tự nhiên lập được nhỏ hơn 1000 và chia hết cho 5 thì: các số đó có thể có 1 chữ số, 2 chữ số, hoặc 3 chữ số và có tận cùng là 0 hoặc 5.

• Số có 1 chữ số, mà chia hết cho 5 là: 0; 5.

• Số có 2 chữ số, gọi số đó có dạng ,a≠b,a≠0.

Ta có: b thuộc tập {0; 5}, có 2 cách chọn, chọn a có 9 cách.

Nên số cách lập là: 9.2 = 18.

Ta trừ bỏ các số vừa lập được mà có chữ số 0 đứng đầu, số các số đó là: 1.

⇒ Số các số có 2 chữ số lập được thỏa mãn bài toán là: 18 - 1 = 17.

• Số có 3 chữ số, gọi số đó có dạng ,a≠b≠c,a≠0.

Ta có: chọn c thuộc tập {0; 5}, có 2 cách chọn, chọn a có 9 cách, chọn b có 8 cách. Nên số cách lập là: 2.9.8 = 144.

Ta trừ bỏ các số vừa lập được mà có chữ số 0 đứng đầu, số các số đó là: 8.

⇒ Số các số có 3 chữ số lập được là: 144 - 8 = 136.

Vậy số các số lập được là: 2 + 17 + 136 = 155 số.

Bài 12: Viết khai triển nhị thức Newton của (2x -1)ⁿ, biết n là số tự nhiên thỏa mãn + 24 = 140

Giải chi tiết:

Tìm n, điều kiện n≥2

+ 24 = 140
⇔ + 24.

⇔ n.(n-1) + 24.n = 140

⇔ n² + 23n – 140 = 0

⇔ n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = -28 (loại).

Với n = 5 ta có:

(2x -1)⁵ = (2x)⁵ + 5(2x)⁴.(-1) + 10(2x)³.(-1)² +10(2x)².(-1)³ + 5(2x)(-1)⁴ +(-1)⁵

= 32x⁵ - 80x⁴ + 80x³ - 40x² + 10x -1.

Bài 13: Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có:

r

Giải chi tiết:

Gọi p = là nửa chu vi của tam giác.

Theo công thức có: S_ABC = p.r, nên r = S_ABC : p.

Theo công thức Heron: S_ABC =

Ta có: p - a =

p - b =

p - c =

⇒ r

Bài 14: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a. Biểu thị các vectơ , theo các vectơ ,

b. Tính . và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Giải chi tiết:

a.Ta có :

b.

= ² - ²

Mà AB, AD vuông góc với nhau nên

• AD² + AB² = 0

Do = 0 nên đường thẳng DM vuông với đường thẳng AN, hay góc giữa đường thẳng DM và AN là 90^o.

Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(-1; 3), B(1; 2), C(4; -2).

a. Viết phương trình đường thẳng BC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

c. Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.

Giải chi tiết:

a. =(3;−4)

⇒ Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là: =(4;3)

⇒ Phương trình đường thẳng BC là: 4(x−1)+3(y−2)=0, hay 4x+3y−10=0.

b.

d(A;BC)= = 1

BC =

⇒ Diện tích tam giác ABC là: S_ABC = d(A;BC).BC=

c) Đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC có bán kính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC, do đó R = d(A, BC) = 1.

Vậy phương trình đường tròn là (x + 1)² + (y – 3)² = 1.

Bài 16: Trên mặt phẳng tọa độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai điểm A(1; 1) và B(-1; 21) với các vectơ vận tốc tương ứng là =(1;2), =(1;−4). Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau không?

Giải chi tiết:

Vật A khởi hành từ điểm A (1,1) với vectơ vận tốc do đó phương trình chuyển động của vật A là

Vật B khởi hành từ điểm B (-1,21) với vectơ vận tốc do đó phương trình chuyển động của vật A là

Giả sử 2 vật có thể gặp nhau, nghĩa là tồn tại thời điểm m (m>0) để hai vật ở cùng một vị trí.

Vị trí của vật khởi hành từ điểm A tại thời điểm m là

Vị trí của vật khởi hành từ điểm B tại thời điểm m là

Vì hai vật có cùng vị trí tại thời điểm m nên ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình trên ta thấy phương trình đầu 1= -1 (vô lí) hệ phương trình vô nghiệm

Vậy hai vật không thể gặp nhau.

Bài 17: Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí. Giả sử vận tốc âm thanh là 1236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Giải chi tiết:

Gọi M là vị trí phát ra âm thanh cầu cứu trong rừng.

Gọi t_A, t_B lần lượt là thời gian trạm A,B nhận được tín hiệu cầu cứu (đơn vị : giây)

=>t_A = t_B -6 ó t_B – t_A= 6

Đổi v = 1236 km/h = km/s

MA = t_A.v ; MB = t_B .v => MB – MA = (t_B – t_A) .v = 6.

Như vậy, tập hợp các điểm M là một hypebol nhận A,B làm hai tiêu điểm

Ta có : AB = 16 = 2c => c = 8 ; | MA- MB| = 2,06 = 2a => a = 1,03

• b² = c² – a² = 8² – 1,03² = 62,9391

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đó là: (H)

Do MA< MB nên M thuộc của nhánh (H) gần A

Vậy phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó là nhánh gần A của hypebol (H) có phương trình

Bài 18: Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số để xấp xỉ cho π.

a. Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.

b. Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này biết:

3,1415 < π < 3,1416.

Giải chi tiết:

a. Số đúng π.

Số gần đúng

b. Ta có :

3,1415 < π < 3,1416

=>

=> | π –

=> Sai số tuyệt đối là 0,0014

Sai số tương đối là 0,0014 : 0,00045

Bài 19: Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:

a. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.

b. Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.

Giải chi tiết:

• Năm 2010

Số trung bình: = 9,6

Phương sai :

[(5,3-9,6)² + (10,4-9,6)² + (7-9,6)² +(10,8 -9,6)² + (6,5-9,6)² + (11,1 – 9,6)² + (10,7 -9,6)² + (12-9,6)² + (10 -9,6)² + (12,2-9,6)² ] : 10 = 5,308

Độ lệch chuẩn : 2,3

• Năm 2016

Số trung bình : = 2,82

Phương sai :

[(1,3-2,82)² + (2,9-2,82)² + (1,6-2,82)² +(2,3 -2,82)² + (2,1-2,82)² + (2,6 – 2,82)² + (3,7 -2,82)² + (4,4-2,82)² + (3 -2,82)² + (4,3-2,82)² ] : 10 = 1,0136

Độ lệch chuẩn : 1,007

b. Dựa theo số trung bình thì tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/ thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng của năm 2016 giảm so với năm 2010.

Dựa theo độ lệch chuẩn thì mức độ phân tán của năm 2010 cao hơn năm 2016.

Bài 20: Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn

Giải chi tiết:

Chọn 3 số trong 23 số nguyên dương nên n(Ω) = = 1771

Trong 23 số nguyên dương đầu tiên có 11 số chẵn và 12 số lẻ

Gọi biến cố A : “tổng ba số chọn được là một số chẵn”

Để tổng 3 số chọn được là một số chẵn thì có các trường hợp:

+ Cả 3 số được chọn đều chẵn , số cách chọn :

+ 2 số lẻ, 1 số chẵn , số cách chọn :

• n (A) = 165 + 726 = 891
• P(A) =