I. HÌNH THOI

HĐ1. Trang 68 sgk toán 8 tập 1

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48)

Giải chi tiết:

a) Ta có AB = AD nên ABD là tam giác cân tại A

b) Ta có O là trung điểm của BD (do ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành)

⇒ OB = OD

Xet tam giác AOB và AOD ta có:

AO chung

OB = OD

AB = AD

⇒ (c.c.c) ⇒

Suy ra AC là phân giác

Mà tam giác ABD cân suy ra AC vuông góc với BD

Luyện tập 1. Trang 69 sgk toán 8 tập 1

Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Giải chi tiết:

Hình a) là hình thoi

Vì là hình bình hành (có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hình b) là hình thoi

Vì là hình bình hành (có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Hình c) không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

II. HÌNH VUÔNG

HĐ2. Trang 70 sgk toán 8 tập 1

Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Giải chi tiết:

+ Vì hình vuông có bốn góc vuông nên hình vuông cũng là hình chữ nhật nên có hai đường chéo bằng nhau.

+ Vì hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên hình vuông cũng là hình thoi nên có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Luyện tập 2. Trang 71 sgk toán 8 tập 1

Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Giải chi tiết:

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

b) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

c) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

III. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 3.29. Trang 71 sgk toán 8 tập 1

Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55

Giải chi tiết:

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối bằng nhau).

b) Tứ giác EFGH là hình thoi (hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

c) Tứ giác MNPQ là hình vuông (bốn tam giác OMN, ONP, OPQ, OQR là những tam giác vuông cân tại O nên tứ giác MNPQ có 4 góc vuông, hai đường chéo bằng nhau).

d) Tứ giác RSUT là hình cái diều (không bắt buộc là hình thoi)

Bài 3.30. Trang 72 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F…

Giải chi tiết:

a) Tứ giác AEDF là hình bình hành.

Vì có DE // AF, DF // AE (gt) (theo định nghĩa)

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A. Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

Mà ABC là tam giác cân tại A nên D là trung điểm của BC.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì là hình bình hành có một góc vuông).

d) Nếu ABC vuông tại A và D là trung điểm cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

Bài 3.31. Trang 72 sgk toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Giải chi tiết:

* Xét AEH và BEF có : AE = BE ; ; AH = BF

AEH = BEF (c.g.c)

HE = FE (1)

* Chứng minh tương tự, ta có:

DGH = CGF (c.g.c) HG = FG (2)

AHE = DHG (c.g.c) HE = HG (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra EF = FG = GH = HE

tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài 3.32. Trang 72 sgk toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thôi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Giải chi tiết:

* Xét AEH và CFG có : AH = CG ; ; AE = CF

AEH = CFG (c.g.c)

HE = GE (1)

* Chứng minh tương tự, ta có:

DGH = BFE (c.g.c) HG = EF (2)

Từ (1), (2) suy ra HEFG là hình bình hành. (3)

* Gọi AC và BD cắt nhau tại O OAD = OAB = OCD = OCB

OH = OE = OF = OG (4)

Từ (3) và (4) suy ra HEFG là hình chữ nhật

Bài 3.33. Trang 72 sgk toán 8 tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC…

Giải chi tiết:

Xét ABM và DCM có: AB = DC, , BM = CM

ABM = DCM (c.g.c)

AM = MD

Có

AMB vuông cân tại B; DMC vuông cân tại C

AB = BM = MC = CD

Có AB + BC = 36 : 2= 18 (cm)

Suy ra : AB = 18 : 3 = 6 (cm); BC = 6 2 = 12 (cm)