Bài 4.13. Trang 88 sgk toán 8 tập 1

Tìm độ dài x trong Hình 4.30

Giải chi tiết:

Ta có = mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // DE.

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác DEF có MN // DE, ta có:

hay

Suy ra (đvđd).

Vậy x = 4 (đvđd).

Bài 4.14. Trang 88 sgk toán 8 tập 1

Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC

a) Chứng minh EK // CD, FK // AB

b) So sánh EF và (AB + CD).

Giải chi tiết:

a) Vì E, K lần lượt là trung điểm của AD, AC nên EK là đường trung bình của tam giác ACD suy ra EK // CD.

Vì K, F lần lượt là trung điểm của AC, BC nên KF là đường trung bình của tam giác ABC suy ra KF // AB.

Vậy EK // CD, FK // AB.

b) Vì EK là đường trung bình của tam giác ACD nên EK = CD

Vì KF là đường trung bình của tam giác ABC nên KF = AB

Do đó EK + KF = (AB + CD) (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác KEF, ta có: EF < EK + KF (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra EF < (AB + CD).

Bài 4.15. Trang 88 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC, phân giác AD (D BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng

Giải chi tiết:

Theo đề bài, AD là tia phân giác của , áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ABC, ta có : (1)

Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E hay DE // AB, áp dụng định lí Thalès vào tam giác ABC, ta có : (2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).

Bài 4.16. Trang 88 sgk toán 8 tập 1

Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC

b) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và ACD

Giải chi tiết:

a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

, suy ra

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Do đó, DB = (cm); DC = (cm).

Vậy DB = cm; DC = cm.

b) Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC, ta gọi đường cao đó là AH.

Ta có:

Suy ra

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD bằng .

Bài 4.17. Trang 88 sgk toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng: DM² = MN . MK

Giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC suy ra AN // CD, AD // CK.

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác AMN có AN // CD, ta được: (1)

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác ADM có CK // AD, ta được: (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó DM² = MN . MK (đpcm).