CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

Trong đó là khối lượng của vật khi nó đứng yên, là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN.

HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 16: GIỚI HẠN

CỦA HÀM SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

01 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂMHĐ 1:

HĐ 1:

Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số

1. a) Tìm tập xác định của hàm số .
2. b) Cho dãy số . Rút gọn và tính giới hạn của dãy với .
3. c) Với dãy số bất kì sao cho và , tính và tìm .

Trả lời:

1. a) Biểu thức có nghĩa khi

Do đó, tập xác định của hàm số là .

1. b) Ta có:

1. c) Ta có:

Vì và với mọi nên

Do đó, .

KHÁI NIỆM

Giả sử là một khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên khoảng có thể trừ điểm . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi dần tới nếu với dãy số bất kì, , và , ta có , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 1

Cho hàm số . Chứng tỏ rằng

Giải:

Lấy dãy số bất kì sao cho và . Ta có

Do đó

Vậy

QUY TẮC

1. a) Nếu và thì:

1. b) Nếu với mọi và thì và .

Chú ý:

+) với là hằng số. +) với .

Ví dụ 2

Cho và . Tính các giới hạn sau:

Giải:

Ta có . Mặt khác, ta thấy

1. a) Ta có

Ta có . Mặt khác, ta thấy

1. b) Ta có

Ví dụ 3

Tính

Giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Chú ý rằng

Do đó

LUYỆN TẬP 1

Tính

Giải

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi nên ta không thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có:

Do đó

HĐ 2:

Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số

1. a) Cho và Tính và .
2. b) Tìm giới hạn của các dãy số và .
3. c) Cho các dãy số và bất kì sao cho và , tính và

Trả lời

1. a) Ta có: với mọi với mọi .

Do đó,

Ta cũng có: với mọi với mọi .

Do đó,

1. b) Ta có

1. c) Ta có

Vì , suy ra và với mọi .

Do đó, và

Vậy và .

KHÁI NIỆM

• Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số là giới hạn bên phải của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và , ta có , kiếu hiệu .
• Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số là giới hạn bên trái của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và , ta có , kí hiệu .

Ví dụ 4

Cho hàm số

Tính và

Giải:

Với dãy số bất kì sao cho và , ta có

Do đó

Tương tự, với dãy số bất kì mà ta có , cho nên .

Chú ý

khi và chỉ khi

LUYỆN TẬP 2