CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM ĐAtilde; ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Một nhagrave; haacute;t coacute; 25 hagrave;ng ghế với 16 ghế ở hagrave;ng thứ nhất, 18 ghế ở hagrave;ng thứ hai, 20 ghế ở hagrave;ng thứ 3 vagrave; cứ tiếp tục theo quy luật đoacute;, tức lagrave; hagrave;ng sau nhiều hơn hagrave;ng liền trước noacute; 2 ghế. Tiacute;nh tổng số ghế của nhagrave; haacute;t đoacute;?

CHƯƠNG II. DAtilde;Y SỐ. CẤP SỐ CỘNG VAgrave; CẤP SỐ NHAcirc;N

BAgrave;I 6: CẤP SỐ CỘNG

NỘI DUNG BAgrave;I HỌC

Định nghĩa

Số hạng tổng quaacute;t

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ 1:

Cho datilde;y số gồm tất cả caacute;c số tự nhiecirc;n lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần

1. a) Viết năm số hạng đầu của datilde;y số.
2. b) Dự đoaacute;n cocirc;ng thức biểu diễn số hạng theo số hạng

Trả lời:

1. a) Năm số hạng đầu của datilde;y số (u_n) lagrave; năm số tự nhiecirc;n lẻ đầu tiecirc;n vagrave; đoacute; lagrave;:

1; 3; 5; 7; 9

1. b) Nhận thấy trong datilde;y số (u_n), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đoacute;, ta dự đoaacute;n cocirc;ng thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng u_{n ndash; 1} lagrave;

u_n = u_{n ndash; 1} + 2

KẾT LUẬN

• Cấp số cộng lagrave; một datilde;y số (hữu hạn hay vocirc; hạn), trong đoacute; kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước noacute; cộng với một số khocirc;ng đổi d. Số d được gọi lagrave; cocirc;ng sai của cấp số cộng.
• Cấp số cộng với cocirc;ng sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

với .

CAcirc;U HỎI

Datilde;y số khocirc;ng đổi a, a, a, hellip; Coacute; phải lagrave; một cấp số cộng khocirc;ng?

Giải

Datilde;y số khocirc;ng đổi a, a, a, ... lagrave; một cấp số cộng với cocirc;ng sai d = 0.

Đacirc;y lagrave; một datilde;y số hằng.

Viacute; dụ 1:

Cho cấp số cộng coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai . Hatilde;y viết năm số hạng đầu của cấp số cộng nagrave;y.

Giải

Năm số hạng đầu của cấp số cộng nagrave;y lagrave;:

Viacute; dụ 2:

Cho cấp số cộng với Chứng minh rằng lagrave; một cấp số cộng. Tigrave;m số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai d của noacute;.

Giải

Ta coacute; , với mọi .

Do đoacute; lagrave; cấp số cộng coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai .

LUYỆN TẬP 1

Cho datilde;y số với . Chứng minh rằng lagrave; một cấp số cộng. Xaacute;c định số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai của cấp số cộng nagrave;y.

Giải

Ta coacute;:

Do đoacute; , với mọi .

Vậy datilde;y số lagrave; cấp số cộng coacute; số hạng đầu lagrave; vagrave; cocirc;ng sai .

2. SỐ HẠNG TỔNG QUAacute;T

HĐ 2:

Cho cấp số cộng với số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai .

1. a) Tiacute;nh caacute;c số hạng theo vagrave; .
2. b) Dự đoaacute;n cocirc;ng thức tiacute;nh số hạng tổng quaacute;t theo vagrave; .

Trả lời:

1. a) Ta coacute;: u₂= u₁+ d;

u₃ = u₂ + d = (u₁ + d) + d = u₁ + 2d;

u₄ = u₃ + d = (u₁ + 2d) + d = u₁ + 3d;

u₅ = u₄ + d = (u₁ + 3d) + d = u₁ + 4d.

1. b) Từ cacirc;u a, ta dự đoaacute;n cocirc;ng thức tiacute;nh số hạng tổng quaacute;t u_n

theo u₁ vagrave; d lagrave;:

u_n = u₁ + (n ndash; 1)d.

KẾT LUẬN

Nếu cấp số cộng coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai d thigrave; số hạng tổng quaacute;t của noacute; được xaacute;c định theo cocirc;ng thức:

.

Viacute; dụ 3:

Tigrave;m năm số hạng đầu vagrave; số hạng thứ 100 của cấp số cộng

:

Giải

Cấp số cộng nagrave;y coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai

Do đoacute; năm số hạng đầu lagrave;:

Số hạng thứ 100 lagrave;

Viacute; dụ 4:

Số hạng thứ 10 của một cấp số cộng bằng 48 vagrave; số hạng thứ 18 bằng 88. Tigrave;m số hạng thứ 100 của cấp số cộng đoacute;.

Giải

Giả sử lagrave; số hạng đầu vagrave; lagrave; cocirc;ng sai của cấp số cộng đoacute;. Ta coacute;:

Giải hệ nagrave;y ta được vagrave; .

Vậy số hạng thứ 100 của cấp số cộng nagrave;y lagrave;

LUYỆN TẬP 2

Cho datilde;y số với . Chứng minh rằng lagrave; một cấp số cộng. Xaacute;c định số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai d của cấp số cộng nagrave;y. Từ đoacute; viết số hạng tổng quaacute;t dưới dạng

Giải

Ta coacute;: u_n ndash; u_{n ndash; 1} = (4n ndash; 3) ndash; [4(n ndash; 1) ndash; 3]

= 4n ndash; 3 ndash; (4n ndash; 4 ndash; 3) = 4, với mọi n ge; 2.

Do đoacute;, datilde;y số (u_n) lagrave; một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 . 1 ndash; 3 = 1 vagrave; cocirc;ng sai d = 4.

Số hạng tổng quaacute;t lagrave;: u_n = 1 + (n ndash; 1) . 4

3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

HĐ 3:

Cho cấp số cộng với số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai

Để tiacute;nh tổng của số hạng đầu

Hatilde;y lần lượt thực hiện caacute;c yecirc;u cầu sau:

1. a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng theo số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai .
2. b) Viết theo thứ tự ngược lại: vagrave; sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng nagrave;y theo vagrave;
3. c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tiacute;nh theo vagrave; .

Trả lời: