CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Ta có thể gắn cho mỗi vị trí trên Trái Đất một cặp số, được gọi là vĩ độ và kinh độ. Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ và kinh độ của nó. Sau bài học này, ta có thể hiểu và diễn đạt chính xác khái niệm đó.

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ

VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

2

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Góc nhị diện

Một số hình lăng trụ đặc biệt

Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 1

Cho hai mặt phẳng và . Lấy hai đường thẳng cùng vuông góc với , hai đường thẳng cùng vuông góc với . Tìm mối quan hệ giữa các góc và

Giải:

Vì và cùng vuông góc với nên chúng song song hoặc trùng nhau.

Tương tự, và song song hoặc trùng nhau.

Vậy

Kết luận

• Cho hai mặt phẳng và Lấy các đường thẳng tương ứng vuông góc với . Khi đó góc giữa và không phụ thuộc vào vị trí của và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng và (Q).
• Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Chú ý: Nếu là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì .

Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?

Trả lời:

Xét hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng .

Khi đó góc giữa khi và chỉ khi , hay a và b song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng thuộc và vuông góc với . Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và .

Giải:

Trong mặt phẳng chứa lấy một điểm không thuộc các đường thẳng .

Gọi tương ứng là hình chiếu của trên .

Khi đó vuông góc với các đường thẳng .

Do , nên

Tương tự,

Do đó, góc giữa và bằng góc giữa và .

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng thuộc và vuông góc với . Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và .

Giải:

Do nên bốn điểm thuộc một đường tròn.

Do đó, và bằng hoặc bù nhau, tức là

Vậy góc giữa và bằng góc giữa và

Nhận xét

tại O; tại O

Khi đó

Đặc biệt, khi và chỉ khi

Cho hình chóp , đáy là một hình chữ nhật có tâm Chứng minh rằng hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi là một hình vuông.

Giải:

Gọi là giao điểm của và .

Vì và

((

Do đó

là hình vuông.

2. Điều kiện để

hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 2

Cho mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Lấy một đường thẳng vuông góc với (H.7.47).

1. a) Tính góc giữa và .
2. b) Tính góc giữa và

Giải:

1. a) Vì và nên .

Vậy .

1. b) Do và tương ứng vuông góc với và .

Do đó, .

Kết luận

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2: Cho tứ diện có vuông góc với và . Chứng minh rằng các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng

Giải:

Do vuông góc với và nên

Mặt khác, các mặt phẳng chứa .

Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng