CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 11. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 1:

Quan sát Hình 4.13 ta thấy:

a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.

b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không giao nhau.

c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song song.

Kết luận:

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.

• Nếu và cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói và đồng phẳng. Khi đó, và có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

• Nếu và không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói và chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói chéo với , hoặc chéo với .

Câu hỏi

- Hình ảnh hai đường thẳng song song:

+ Hai cạnh đối diện của chiếc bàn:

+ Vạch kẻ đường:

- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau:

+ Cạnh bàn và đường nối chân bàn.

Nhận xét

- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

- Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Ví dụ 1. (SGK – tr.79).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.79).

Luyện tập 1

a)

(vì là hình bình hành)

b) =>

=> cùng thuộc một mặt phẳng

=> đồng phẳng

Do đó khi lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng trên thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau. Vậy trong các đường thẳng không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Ví dụ 2: (SGK – tr.80).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.80).

=> Vậy, Nếu hai đường thẳng không chéo nhau thì chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

Luyện tập 2.

a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng là và .

Giải thích: Nếu hai đường thẳng và không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm đồng phẳng, trái với giả thiết là hình chóp. Do đó, hao đường thẳng và chéo nhau. Tương tự, giải thích được hai đường thẳng và chéo nhau.

b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng là và . Giải thích tương tự câu a.

Vận dụng 1

Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường vì điểm đầu gậy chạm với sàn và 4 điểm góc của tường là các điểm không đồng phẳng nên đường thẳng tạo bởi chiếc gậy và một trong các mép tường là hai đường thẳng chéo nhau.

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Hoạt động 2:

a) Trên mặt phẳng có một và chỉ một đường thẳng đi qua và song song với (theo tiên đề Euclid).

b) Giả sử là đường thẳng đi qua và song song với . Khi đó hai đường thẳng và đồng phẳng. Mà điểm và đường thẳng đều cùng nằm trong mặt phẳng nên và cùng nằm trong mặt phẳng

=> Vậy nếu một đường thẳng đi qua và song song với thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng

Kết luận:

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Hoạt động 3:

Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, ta có thể chọn là mép trên của tường có gắn bảng và mép dưới của bảng liền với tường, hai đường thẳng này có song song với nhau.

Kết luận

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ví dụ 3: (SGK – tr. 81).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.81).

Luyện tập 3

Ta có: (do là hình bình hành) và (do là hình bình hành).

Do đó, .

Khi đó, hai đường thẳng và đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng.

Lại có và (do và là các hình bình hành) nên

Vậy tứ giác là hình bình hành.

Hoạt động 4:

a)

Vì =>

Vì =>

Do đó là điểm chung của và

Lại cps

Vậy

b)

Ta thấy ba đường thẳng phân biệt đôi một đồng phẳng.

Do đó, nếu không có hai trong ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau thì đôi một song song.

Vậy nếu hai đường thẳng và song song với nhau thì hai đường thẳng và song song với nhau.

Định lí về ba đường giao tuyến

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

- Giữa có những vị trí tương đối là: Song song hoặc trùng nhau.

Chú ý (Hệ quả)

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. (Hình minh họa bên dưới).

Ví dụ 4: (SGK – tr.82).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.82).

Bài tập nhỏ

+ Ta có hai mặt phẳng và có: Điểm chung; . Vậy giao tuyến là đường thẳng qua và song song với và

+ Ta có:

=>

Mà => .

Luyện tập 4

Hai mặt phẳng và có điểm chung và chứa hai đường thẳng song song là và .

Do đó, với đi qua S và .

Vận dụng 2

Giả sử mặt phẳng mà mặt nước, mặt phẳng là mặt đáy của bể kính và là một mặt bên của bể kính.

Ba mặt phẳng và là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến và .

Vì (do đáy của bể là hình chữ nhật) nên ba đường thẳng và đôi một song song.

Vậy đường mép nước song song với cạnh của bể nước.

3. NHẮC LẠI KIẾN THỨC VÀ LÀM BÀI TẬP HAI ĐƯƠNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

a) Cho hai đường thẳng và trong không gian.

• Nếu và cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói và đồng phẳng. Khi đó, và có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

• Nếu và không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói và chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói chéo với hoặc chéo với .

b) Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

c) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Em có biết (SGK – tr.83).

Bài 4.9

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì nếu và không cắt nhau thì và có thể song song hoặc chéo nhau.

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau).

c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng và có thể trùng nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì và có thể cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Bài 4.10

a) Hai đường thẳng và song song với nhau do đáy là hình bình hành.

b) Hai đường thẳng và cắt nhau do đây là hai đường chéo của hình bình hành .

c) Hai đường thẳng và chéo nhau.

Thật vậy, nếu hai đường thẳng và không chéo nhau, tức là hai đường thẳng này đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng, trái với giả thiết là hình chóp.

Bài 4.12

Xét có và lần lượt là trung điểm của các cạnh và nên là đường trung bình của tam giác , suy ra .

Mà đáy là hình thang có .

Do đó, . Vậy tứ giác là hình thang.