CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Hoạt động 1.

a) Biểu thức có nghĩa khi

Do đó, tập xác định của hàm số là .

b) Ta có:

c) Ta có:

Vì và với mọi nên

Do đó, .

Khái niệm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi x dần tới nếu với dãy số bất kì, , và , ta có , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 1: (SGK – tr.111)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Quy tắc

a) Nếu và thì:

, nếu

b) Nếu với mọi và thì và .

Chú ý:

+) với là hằng số.

+) với .

Ví dụ 2: (SGK – tr.112).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Ví dụ 3: (SGK – tr.112)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112, 113)

Luyện tập 1

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi nên ta không thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có:

Do đó

Hoạt động 2

a) Ta có: với mọi => với mọi .

Do đó,

Ta cũng có: với mọi => với mọi .

Do đó,

b) Ta có

c) Ta có:

Vì , suy ra và với mọi .

Do đó, và

Vậy và .

Khái niệm

+ Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số là giới hạn bên phải của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và , ta có , kiếu hiệu .

+ Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số là giới hạn bên trái của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và , ta có , kí hiệu .

Ví dụ 4: (SGK – tr.113).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.113).

Chú ý;

khi và chỉ khi .

Luyện tập 2

Với dãy số bất kì sao cho và , ta có

Do đó

Tương tự, với dãy số bất kì sao cho và , ta có .

Do đó

Khi đó,

Vậy

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Hoạt động 3:

Với là dãy số sao cho

Ta có:

Khi thì

Do đó

Khái niệm

- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có . Kí hiệu hay khi

- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 5: (SGK – tr.114).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.114).

Quy tắc và công thức

+ Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

+ Với là hằng số, ta có: , .

+ Với là một số nguyên dương, ta có:

Ví dụ 6: (SGK – tr.115)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.115).

Luyện tập 3

Ta có:

Vận dụng

a) Ta có: => ; => .

Áp dụng định lý Pythagore vào vuông có:

Ta có:

=> .

b) Khi điểm dịch chuyển về , ta có , suy ra , do đó điểm dịch chuyển về điểm .

c) Khi dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục , ta có .

Ta có:

Do đó điểm dịch chuyển về .

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

a) Giới hạn vô cực

Hoạt động 4

Ta có: , do đó

Vì nên và

Khái niệm

Giả sử khoảng chứa và hàm số xác định trên . Ta nói hàm số có giới hạn khi nếu với dãy số bất kì, , ta có , kí hiệu .

Ta nói hàm số có giới hạn khi:

, kí hiệu , nếu

Ví dụ 7: (SGK – tr.115)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.115).

Hoạt động 5

Ta có:

Kết luận

+ Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi về bên phải nếu với dãy số bất kì thỏa mãn , ta có , kí hiệu .

+ Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi về bên trái nếu với dãy số bất kì thỏa mãn , ta có , kí hiệu .

+ Các giới hạn một bên và được định nghĩa tương tự.

Ví dụ 8: (SGK – tr.116).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.116).

Luyện tập 4

a) Với . Ta có: và

Do vậy

Từ đó

b) Với ta có .

Do đó và

Chú ý: Các giới hạn , , và được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số tại vô cực. Chẳng hạn: T nói hàm số , xác định trên khoảng , có giới hạn là khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có , kí hiệu hay khi .

Một số giới hạn đặc biệt:

+ với nguyên dương.

+ với là số nguyên dương chẵn.

+ với là số nguyên dương lẻ.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

+ Quy tắc tìm giới hạn của tích

Giả sử và (hoặc ). Khi đó được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

+ Quy tắc tìm giới hạn của thương .

- Các quy tắc trên vẫn đúng cho trường hợp và

Ví dụ 9: (SGK – tr.117)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).

Ví dụ 10: (SGK – tr.117)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).

Luyện tập 5

+) Ta có: với mọi và

Do đó, .

+) Ta có: với mọi và

Do đó, .