CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 5. DÃY SỐ

1. DÃY SỐ VÔ HẠN

Hoạt động 1:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: .

Số chính phương thứ nhất là

Số chính phương thứ hai là

Số chính phương thứ ba là

Số chính phương thứ tư là

Số chính phương thứ năm là

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là với

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là .

+ Ta thường viết thay cho u(n) và ký hiệu dãy số bởi , do đó dãy số được viết dưới dạng khai triển ... Số gọi là số hạng đầu, là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý

Nếu thì được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

2. Dãy số hữu hạn

Hoạt động 2.

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

.

b) Ta có: với và n ≤ 8.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập với được gọi là một dãy số hữu hạn.

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là . Số gọi là số hạng đầu, số gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

Luyện tập 1.

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để .

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là:

Số hạng đầu của dãy là , số hạng cuối của dãy là .

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Hoạt động 3:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là

b) Số hạng đầu của dãy số là .

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ

Kết luận:

Một dãy số có thể cho bằng:

+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+ Công thức của số hạng tổng quát.

+ Phương pháp mô tả.

+ Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.44)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 4: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Chú ý:

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vào số nguyên tố đứng trước nó.

- Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 5: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 6: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số với số hạng tổng quát là

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci là

Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số với . Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là:

và được biểu diễn trên trục số như trên.

3. NHẬN BIẾT DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Hoạt động 4.

a) Ta có:

Xét hiệu ta có: , tức là .

Vậy

b) Ta có: .

Xét hiệu ta có:

ℕ^*

Tức là

Vậy .

Kết luận:

+ Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có: với mọi ℕ^*.

+ Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi ℕ^*.

Ví dụ 7: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Luyện tập 3

Ta có:

Tức là

Vậy là dãy số giảm.

2. Nhận biết dãy số bị chặn

Hoạt động 5.

a) Ta có:

b) Ta có:

suy ra

Do đó, .

Kết luận

+ Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho với .

+ Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

+ Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho , .

Ví dụ 8: (SGK – tr45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Câu hỏi phụ

Ta có:

Suy ra

Vậy dãy số bị chặn.

Luyện tập 4

Ta có: u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

= 2n – 1 ≤ M với mọi n ^*.

Vậy dãy số bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng

a) Ta có:

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có:

với mọi

Tức là

Vậy là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.