CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 1:

* KXĐ: Không xác định.

Với mỗi số thực , ta xác định được duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác (OA, OM) bằng . Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác và của x lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm M. Nếu , ta định nghĩa và nếu thì ta định nghĩa .

Định nghĩa:

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực được gọi là hàm số sin, kí hiệu là .

Tập xác định của hàm số sin là .

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là

Tập xác định của hàm số côsin là .

- Hàm số cho bởi công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là .

Tập xác định của hàm số tang là .

Hàm số cho bởi công thức được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là .

Tập xác định của hàm số tang là .

Ví dụ 1: (SGK – tr.23).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.23).

Luyện tập 1

Biểu thức có nghĩa khi tức là:

Vậy tập xác định của hàm số là .

Câu hỏi mở rộng

Điều kiện xác định của hàm số:

⇔

Vậy .

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hoạt động 2:

a) Biểu thức và luôn có nghĩa với mọi .

Vậy tập xác định của hàm số là và tập xác định của hàm số là .

b) , ta luôn có:

Vậy .

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) , ta luôn có:

Vậy .

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Định nghĩa:

Cho hàm số có tập xác định là D.

+ Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu thì và .

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

+ Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu thì và .

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét

- Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số với những dương, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua góc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho

Ví dụ 2: (SGK – tr.24).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.24).

Luyện tập 2.

Biểu thức có nghĩa khi .

Suy ra tập xác định của hàm số là .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

Vậy là hàm số lẻ.

Câu hỏi phụ

TXĐ:

=> =>

Xét

Vậy là hàm số chẵn

b) Hàm số tuần hoàn

Hoạt động 3

a) Ta có:

Vậy .

b) Ta có:

Vậy .

c) Ta có:

Vậy .

d) Ta có:

Vậy .

Định nghĩa:

Hàm số có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số sao cho với mọi ta có:

i) và

ii)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Câu hỏi:

Hàm số hằng (c là hằng số) có tập xác định

Với T là số dương bất kì và với , ta luôn có:

+) và

+) (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị bằng c).

Vậy hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì.

Nhận xét:

a) Các hàm số và tuần hoàn với chu kì . Các hàm số và tuần hoàn với chu kì .

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T ], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, ... ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Ví dụ 3: (SGK – tr.25).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.25)

Chú ý

Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số và là những hàm số tuần hoàn với chu kì:

Luyện tập 3

Biểu thức có nghĩa khi:

Suy ra hàm số có tập xác định là .

Với mọi số thực x, ta có:

+)

+)

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì .

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ Y = SIN X

Hoạt động 4.

a) Hàm số có tập xác định là .

Do đó, nếu thì

Ta có:

Vậy là hàm số lẻ.

b) Ta có:

Vì là hàm số lẻ nên:

;

;

;

.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây.

Kết luận:

Hàm số :

+ Có tập xác định là và tập giá trị là .

+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì .

+ Đồng biến trên mỗi khoảng:

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng:

.

+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình .

Ví dụ 4: (SGK – tr.26)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.26).

Luyện tập 4:

Ta có: với .

Suy ra .1; hay:

với .

Vậy hàm số có tập giá trị là .

Vận dụng 1:

a) Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là: (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là (chu kì).

b) Ta có:

+) v > 0 khi

Mà với . Do đó,

.

+) v < 0 khi

Mà với . Do đó,

.

+) Với ta có .

+) Với ta có .

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = COS X

Hoạt động 5:

a) Hàm số có tập xác định là .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

Vậy hàm sso là hàm số chẵn.

b) Ta có: ,

Vì là hàm số chẵn nên:

;

;

;

.

c)

d) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số có:

+) Tập giá trị là

+) Đồng biến trên mỗi khoảng:

(do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng:

(do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Kết luận

Hàm số :

+ Có tập xác định là và tập giá trị là

+ Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì .

+ Đồng biến trên mỗi khoảng: và nghịch biến trên mỗi khoảng , .

+ Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Ví dụ 5: (SGK – tr.27).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.27)

Luyện tập 5:

Ta có: với mọi

Suy ra:

Hay: với mọi .

Vậy hàm số có tập giá trị là .

Vận dụng:

a) Phương trình tổng quát của vật dao động điều hòa là:

So sánh với phương trình đã cho:

Ta có thể suy ra:

Vậy, biên độ của dao động là 5 cm và pha ban đầu là π radian.

b) Thay t = 2 vào phương trình tổng quát của vật dao động điều hòa: x(t) = Acos(ωt + φ)

+ Để tính giá trị của cos(9π), ta biết rằng:

. Vì chu kỳ của cos là , nên sẽ có giá trị giống như , tức là .

Vậy,

+ Ta có:

Số lần vật thực hiện được dao động toàn phần trong 2 giây là .

Vậy, vật thực hiện được 4 dao động toàn phần trong khoảng thời gian 2 giây.

5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = TAN X

Hoạt động6:

a) Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

Vậy là hàm số lẻ.

b) Ta có: ;

.

Vì là hàm số lẻ nên:

;

;

.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Đồ thị hàm số:

Quan sát Hình 1.16, ta thấy đồ thị hàm số y = tan x có:

+) Tập giá trị là .

+) Đồng biến trên mỗi khoảng:

(do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Kết luận

Hàm số :

+ Có tập xác định là và tập giá trị là ;

+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ;

+ Đồng biến trên mỗi khoảng:

;

+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ 6: (SGK – tr.29).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 6:

Hàm số y = tan x nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.16 ta suy ra trên đoạn thì khi .

6. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = COT X

Hoạt động7:

a) Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

b) Ta có:

;

;

.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.17, ta thấy đồ thị hàm số có:

+) Tập giá trị là ;

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng:

(do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Kết luận:

Hàm số :

+ Có tập xác định là và tập giá trị là ;

+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ;

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng ;

+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ 7: (SGK – tr.30).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.30).

Luyện tập 7:

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.17 ta suy ra trên đoạn thì khi .