BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (3 TIẾT)

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

HĐ 1:

a) Trong quá trình đóng - mở cánh cửa:

+ Đường thẳng cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định,

+ Đường thẳng trên mặt sàn và luôn đi qua điểm cố định (là giao của đường thẳng và mặt sàn).

- Vì đường thẳng quay quanh điểm và nên vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua .

b) Lấy đường thẳng bất kì trên mặt sàn. Xét là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua và song song với . Khi đó .

Kết luận:

Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong

Chú ý:

Khi vuông góc với , ta còn nói vuông góc với hoặc và vuông góc với nhau, kí hiệu

Câu hỏi:

và (P) cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì song song hoặc nằm trên ,

Khi đó, tồn tại đường thẳng

//

Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết .

HĐ 2:

a) Vì là các hình chữ nhật nên

b)

Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Kết luận

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Câu hỏi:

Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Nên đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Ví dụ 1 (SGK -tr.32)

Luyện tập 1

Vì và là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nên là trung điểm của

Vận dụng

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).

II. TÍNH CHẤT

HĐ 3:

Ta có: .

Do vàphân biệt nên và phân biệt.

Mà đi qua và vuông góc với .

Kết luận

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét

Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với

Ví dụ 2 (SGK-tr33)

Chú ý:

Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều

HĐ 4:

a) Vì và cắt nhau theo một giao tuyến

Tương tự và cắt nhau theo một giao tuyến m

Do và cắt nhau nên cắt nhau; suy ra chúng phân biệt. không trùng nhau.

Mặt khác, có điểm chung O nên cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Ta có: đi qua O

Mà

Kết luận

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông óc với một mặt phẳng cho trước.

Luyện tập 2

Ta có:

Mặt khác, qua điểm có duy nhất đường thẳng vuông góc với

thẳng hàng.

Ví dụ 3 (SGK -tr.34)

III. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

HĐ 5:

Vì nên .

Mặt khác // nên .

Mà là đường thẳng bất kì thuộc nên vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).

HĐ 6:

a) (P)

Mà (P)

cùng đi qua điểm O

trùng .

b) Ta có //mà trùng c nên

Kết luận

- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với cũng vuông góc với (P).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 4 (SGK -tr.35)

HĐ 7:

//

Do vuông góc mọi đường thẳng b trong nên (Q).

HĐ 8:

a) (Q)

Mà và là 2 mặt phẳng cùng đi qua O.

trùng

b) mà trùng nên .

Kết luận

- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 5 (SGK -tr.35)

Luyện tập 3

Hai mặt phẳng đó song song vì hai mặt phẳng đó phân biệt, cùng vuông góc với một đường thẳng (đường chứa một trong các chân bàn).

HĐ 9:

Vì //(P) nên a //b trong (P). Mặt khác nên

HĐ 10:

a) Do // và nên

a’ đi qua O và nên

b) Vì nên hoặc //

Ví dụ 6 (SGK -tr.36)

Luyện tập 4

+)

Gọi

Mà

//(MBD).