1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thỏa mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Giải chi tiết:

Số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để mua hai loại máy điều hòa là: 20x + 10y (triệu đồng).

a) x+y≤100.

b) 20x+10y≤1200.

c) 3,5x+2y.

Bài 2: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Giải chi tiết:

Ta có hệ bất phương trình:

Một nghiệm của hệ trên là: (x;y) = (30;20).

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Bài 1: Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.

a) Xác định các miền nghiệm D1, D2, D3 của bất phương trình tương ứng và .

b) Miền tam giác OAB có phải là giao của các miền D₁, D₂, D₃ hay không?

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

Giải chi tiết:

a) + Trục Oy có phương trình x = 0.

Điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0, nên miền nghiệm D1 của bất phương trình x≥0là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (tính cả bờ Oy).

+ Trục Oy có phương trình y = 0.

Điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0, nên miền nghiệm D2 của bất phương trình y≥0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0: 1) (tính cả bờ Ox).

+ Vẽ đường thẳng d: x + y = 150. Tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 150.

Miền nghiệm D3 của bất phương trình x+y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d).

b) Miền tam giác OAB là giao của các miền D₁, D₂, D₃.

c) Ta có: 1 > 0, 2 > 0 và 1 + 2 < 150 nên (1; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Vì 1 > 0, 149 > 0 và 1 + 149 = 150 nên (1; 149) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ: .

Giải chi tiết:

Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0.

Miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).

Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0.

Miền nghiệm của bất phương trình y>0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1), không kể trục Ox (miền không bị gạch).

Bước 3: Vẽ đường thẳng d: x + y = 100.

Tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 100.

Miền nghiệm của bất phương trình x+y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm (0; 0) (miền không bị gạch).

Bước 4: Vẽ đường thẳng d': 2x + y = 120.

Tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn 2. 0 + 0 < 120.

Miền nghiệm của bất phương trình 2x+y<120 là nửa mặt phẳng bờ d' chứa điểm (0; 0) (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, không kể hai cạnh OC và BC (miền không bị gạch).

3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Xét biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là O(0; 0), A(150; 0) và B(0; 150).

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A, B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

Giải chi tiết:

a) Thay tọa độ điểm O(0; 0): F(0; 0) = 0

Thay tọa độ điểm A(150; 0): F(150; 0) = 300

Thay tọa độ điểm B(0; 150): F(0; 150) = 450

b) Nhận xét: x và y đều nhận giá trị không âm.

Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là: 0 tại x = y = 0.

c) Nhận xét: x+y ≥ 0 và x+y ≤ 150.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là: 450 tại x = 0, y = 150.

Bài 2: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt 10 triệu đồng và 20 triệu động với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Giải chi tiết:

Gọi số lượng máy tính loại A cần nhập là x (x ∈N) và loại B cần nhập là y (y∈N).

Do tổng nhu cầu hằng tháng không vượt quá 250 máy nên ta có: x+y ≤ 250.

Từ giả thiết ta suy ra giá máy mỗi loại A và B lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng. Do đó ta có bất phương trình:

10x+20y≤4000⇔x+2y≤400.

Khi đó ta có hệ bất phương trình:

b) Lợi nhuận thu được khi bán x máy loại A và y máy loại B là: F(x; y) = 2,5x + 4y.

c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Bước 1: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh là: O(0; 0), A(0; 200), B(100; 150), C(250; 0).

Bước 2: Tính giá trị của F(x) tại các đỉnh của tứ giác:

F(0; 0) = 0, F(0; 200) = 800, F(100; 150) = 850, F(250; 0) = 625.

Bước 3: So sánh, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: F(100; 150) = 850.

Vậy cửa hàng cần đầu tư 100 máy loại A và 150 máy loại B.

BÀI TẬP

Bài 2.4: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) ; b) ;

c) ; d) .

Giải chi tiết:

Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: a và d.

Bài 2.5: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a)

b)

c)

Giải chi tiết:

a) Bước 1: Vẽ đường thẳng d:y-x=-1. Lấy điểm O(0;0) không thuộc d và thay x=0, y=0 vào biểu thức y-x ta được: 0-0=0>-1. Do đó miền nghiệm của bất phương trình y-x<-1 là nửa mặt phẳng bờ d không tính bờ d và không chứa điểm O(0;0).

Bước 2: Trục Oy có phương trình x=0 và điểm (1;0) thoả mãn 1>0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x>0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) và bỏ đi đường thẳng x=0 (miền không bị gạch).

Bước 3: Trục Ox có phương trình y=0 và điểm (0;-1) thoả mãn -1<0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình y<0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) và bỏ đi đường thẳng y=0 (miền không bị gạch). Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

b) Bước 1: Trục Oy có phương trình x=0 và điểm (1;0) thoả mãn 1>0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (miền không bị gạch).

Bước 2: Trục Ox có phương trình y=0 và điểm (0;1) thoả mãn 1>0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình y≥0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (miền không bị gạch).

Bước 3: Vẽ đường thẳng d:2x+y=4. Lấy điểm O(0;0) không thuộc d và thay x=0, y=0 vào biểu thức 2x+y ta được: 2⋅0+0=0<4.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x+y≤4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O(0;0) (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tam giác OAB (miền không bị gạch).

c) Bước 1: Trục Oy có phương trình x=0 và điểm (1;0) thoả mãn 1>0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (miền không bị gạch).

Bước 2: Vẽ đường thẳng d:x+y=5. Lấy điểm O(0;0) không thuộc d và thay x=0, y=0 vào biểu thức x+y ta được: 0+0<5.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x+y>5 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm O(0;0) và không tính bờ d (miên không bị gạch).

Bước 3: Vẽ đường thẳng d':x-y=0. Lấy điểm (1;0) không thuộc d' và thay x=1, y=0 vào biểu thức x-y ta được: 1-0>0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x-y<0 là nửa mặt phẳng bờ d' không chứa điểm (1;0) và không tính bờ d' (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

Bài 2.6 : Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilogam thịt bò và y kilogam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thi các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác đinh miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilogam thịt bò và y kilogam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilogam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Giải chi tiết:

a) Ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với toạ độ các đỉnh là:

A(0,3;1,1), B(0,6;0,7), C(1,6;0,2), D(1,6;1,1).

b) Số tiền phải trả khi mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn là:

F(x; y) = 250x + 160y (nghìn đồng).

c) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trong câu a.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác :

F(0,3; 1,1) = 251, F(0,6; 0,7) = 262, F(1,6; 0,2) = 432, F(1,6; 1,1) = 576.

So sánh các giá trị ở trên, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là:

F(0,3; 1,1) = 251.

Vậy gia đình đó cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.