1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Bài 1: a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

b. Khi , nêu mối quan hệ giữa , với hoành độ và tung độ của điểm M.

Giải chi tiết:

a) : M trùng với điểm C.

: M nằm trên cung AC (không trùng điểm C và A).

: M nằm trên cung CB (không trùng C và B).

b) bằng hoành độ của của điểm M.

bằng tung độ của của điểm M.

Bài 2: Tìm các giá trị lượng giác của góc .

Giải chi tiết:

M là điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục .

Vì nên .

Xét tam giác vuông tại có:

.

.

Điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là .

Theo định nghĩa có:

; ; ; .

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Bài 1: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó, nêu các mối quan hệ giữa và , giữa và .

Giải chi tiết:

Hai điểm M và M' đối xứng với nhau qua trục .

; .

Bài 2: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau và . Chứng minh rằng . Từ đó nêu mối quan hệ giữa và .

Giải chi tiết:

Xét và có:

;

;
.

.

.

Bài 3: Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 90m, thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu môt người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Giải chi tiết:

Do mỗi vòng quay, đu quay mất 30 phút nên sau 20 phút, đu quay quay được vòng.

Từ đó .

Do đó M có tung độ bằng .

Mặt khác, 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trong thực tế, nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với m trong thực tế.

Vậy sau 20 phút quay, đu quay ở độ cao là: (m).

BÀI TẬP

Bài 3.1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin30^o+ cos135^o – 3tan150^o).(cos180^o – cot60^o)

b) sin²+cos²+cos² −tan² + cot²

c) cos60^o.sin30^o + cos²30^o

Giải chi tiết:

a)

=

;
b)

=

= .

c)

=

=

Bài 3.2: Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin100^o +sin80^o + cos16^o + cos164^o

b) 2sin(180⁰−α).cotα – cos(180⁰−α)tanα .cot(180⁰−α) , với 0^o < α < 180^o

Giải chi tiết:

a)

=

;

b) , với

.

Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin2α+cos2α=1

b) 1+tan2α=1cos2α (α≠90⁰)

c) 1+cot2α=1sin2α (0⁰<α<180⁰)

Giải chi tiết:

a) Lấy điểm trên nửa đường tròn đơn vị, sao cho . Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên .

Khi đó . Suy ra

Hơn nữa, tứ giác ONMP là hình chữ nhật có đường chéo .

Theo định lí Pythagore ta được và do đó .

b) Vì nên .

c) Vì nên .

Bài 3.4: Cho góc α, () thỏa mãn tan α = 3.

Tính giá trị của biểu thức .

Giải chi tiết:

Do góc có xác định nên , chia cả tử số và mẫu số của biểu thức P cho ta được : .