1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Với hai vectơ cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vectơ Lấy điểm A' khác A và cũng vẽ các vectơ .Hỏi hai vectơ có mối quan hệ gì?

Giải chi tiết:

.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD.Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ và .

Giải chi tiết:

.

Vậy .

Bài 3: a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ và vectơ .

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ và vectơ .

Giải chi tiết:

a) ;

.

b) ;

.

Bài 4: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và . Tính độ dài của các vectơ ; .

Giải chi tiết:

Do là hình thoi có nên các tam giác là các tam giác đều. Do đó . (1)

+ Tính độ dài của vectơ :

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

.

+ Tính độ dài của vectơ :

Do tính giao hoán và tính kết hợp của phép cộng vectơ, nên:

.

2.HIỆU CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

Giải chi tiết:

Hai lực cân bằng là hai lực mạnh như nhau, có cùng phương nhưng ngược chiều, tác dụng vào cùng một vật.

Hai vectơ sẽ ngược hướng nhau, điểm đầu của vectơ này là điểm cuối của vectơ kia và có độ dài bằng nhau.

Bài 2: Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và là trung điểm của . Chứng minh rằng .

Giải chi tiết:

Do là trung điểm của nên ta có:

Hay .

Tương tự ta có: .

Từ đó suy ra:

.

Bài 3: Tính lực kéo cần thiết một khẩu pháo có trọng lượng 22148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2260 kg) lên một con dốc nghiêng 30^o so với phương nằm ngang. Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Giải chi tiết:

Lực tổng hợp của trọng lực và phản lực là lực theo phương dốc, hướng từ đỉnh dốc xuống chân dốc, có độ lớn bằng =11074 (N). Bởi vậy, để kéo được pháo lên dốc, lực kéo cần phải có độ lớn lớn hơn độ lớn của lực . Và do đó (N).

Do nên nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên dốc.

BÀI TẬP

Bài 4.6 : Cho bốn điểm . Chứng minh rằng:

a)

b) =

Giải chi tiết:

a) Xét vế trái:

Vậy

b) Xét vế trái:

Bài 4.7: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ và .

Giải chi tiết:

Giả sử tìm được điểm thoả mãn .

Khi đó, theo quy tắc hình bình hành ta được . Từ đó, theo kết quả Bài tập 4.3, tứ giác là một hình bình hành. Vậy điểm cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh .

Do tứ giác là hình bình hành nên . (1)

Do tứ giác là hình bình hành nên . (2)

Từ (1) và (2) suy ra và là hai vectơ đối nhau.

Bài 4.8: Cho tam giác đều có cạnh bằng . Tính độ dài của các vectơ .

Giải chi tiết:

+)

+) Dựng hình bình hành ABDC có:

Gọi I là giao của AD và CB, AD = 2AI.

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC, ta có: .

Vậy .

Bài 4.9: Hình 4.19 biểu diễn hai lực cùng tác động lên một vật, cho . Tính độ lớn của hợp lực .

Giải chi tiết:

Vectơ biểu diễn cho lực , vectơ biểu diễn cho lực và vectơ biểu diễn cho hợp lực .

Trong tam giác có:

.

và .

Theo định lí côsin, ta có:

.

Bài 4.10: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Giải chi tiết:

Biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song và . Giả sử tàu thứ nhất xuất phát từ hướng về hạ lưu và tàu thứ hai xuất phát từ hướng về thượng nguồn.

Ta sử dụng các vectơ để biểu diễn cho vận tốc của dòng nước, vận tốc riêng của tàu thứ nhất và tàu thứ hai.

Lấy các điểm sao cho . Từ giả thiết suy ra tứ giác là một hình thang cân.

Lấy các điểm sao cho . Khi đó cùng nằm trên một đường thẳng song song với và các vectơ tương ứng biểu diễn cho vận tốc thực của tàu thứ nhất và tàu thứ hai.

Khi đó tàu thứ nhất chuyển động theo hướng đến đích là điểm và tàu thứ hai chuyển động theo hướng và đến đích là điểm bên bờ đối diện.

Do các đường thẳng đôi một song song, nên theo định lí Thales . Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.

Bởi vậy cả hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.