1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Bài 1: Cho vectơ . Hãy xác định điểm sao cho .

a) Tìm mối quan hệ giữa và .

b) Vectơ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ ?

Giải chi tiết:

a) Theo quy tắc ba điểm:

Do đó hai vectơ và bằng nhau.

Vectơ cùng hướng với vectơ , có độ dài gấp hai lần độ dài của vectơ .

b) Vì và nên B là trung điểm của AC. Do đó vectơ cùng hướng với vectơ và độ dài của gấp đôi độ dài của .

Bài 2: có bằng nhau hay không?

Giải chi tiết:

.

Bài 3: Trên một trục số gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ với vectơ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ .

Giải chi tiết:

+) và cùng hướng, và ngược hướng.

+) ;

.

+ .

Bài 4: có mối quan hệ gì?

Giải chi tiết:

.

Bài 5: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số để .

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có .

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số để .

Giải chi tiết:

Khẳng định đúng: a, c.

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Bài 1: Với ≠ và hai số thực , những khẳng định nào sau đây đúng?

a) Hai vecto và có cùng độ dài bằng .

b) Nếu thì cả hai vectơ và cùng hướng với .

c) Nếu thì cả hai vecto và ngược hướng với U.

d) Hai vectơ và bằng nhau.

Giải chi tiết:

Mệnh đề đúng: a, b, c, d.

Bài 2: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ và .Từ đó, nêu mối quan hệ giữa và .

Giải chi tiết:

, .

Do hai vectơ cùng hướng và nên .

Do đó .

Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có:.

Giải chi tiết:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

Vậy .

Bài 4: Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ theo hai vectơ tức là tìm các số để ; .

Giải chi tiết:

; .

BÀI TẬP

Bài 4.11: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị theo hai vectơ .

Giải chi tiết:

Do là hình bình hành nên .

Do là trung điểm của nên thẳng hàng theo thứ tự đó và .

Suy ra .

Từ đó, theo quy tắc ba điểm, ta được .

Bài 4.12: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng

Giải chi tiết:

Do là trung điểm của và là trung điểm của CD, nên ta có:

(1)

và . (2)

Ta có: (3) và (4).

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:

(theo (1) và (2)).

+) Tương tự, từ .

Ta có: .

Bài 4.13: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có .

Giải chi tiết:

a) Giả sử có điểm thoả mãn . Khi đó . Suy ra hai vectơ và cùng phương, ngược hướng và . Suy ra điểm thuộc đoạn và .

b) Với điểm O bất kì, ta có:

(1)

Và (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

.

Tù đó .

Bài 4.14: Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có .

Giải chi tiết:

a) Giả sử có điểm thoả mãn .

Gọi là trung điểm của . Khi đó .

Suy ra .

Từ đó đẳng thức (1) tương đương với .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi là trung điểm của .

b) Với mọi điểm ta có:

;

.

Suy ra .

Bài 4.15: Chất điểm A chịu tác động của ba lực như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là .Tính độ lớn của các lực biết có độ lớn là 20N.

Giải chi tiết:

Ta dùng các vectơ để biểu diễn cho các lực tác động vào chất điểm , vectơ biểu diễn cho lực là hợp lực của và .

Do chất điểm ở trạng thái cân bằng nên và là hai lực cân bằng.

Bởi vậy .

và Do đó và .

Vậy có độ lớn bằng và có độ lớn bằng .