1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Bài 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và Hãy tìm số đo các góc giữa và và.

Giải chi tiết:

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc CBD và bằng .

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc ADB và bằng .

Bài 2: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0^o , bằng 180^o?

Giải chi tiết:

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ ngược hướng.

Bài 3: Cho tam giác đều ABC. Tính .

Giải chi tiết:

Vẽ , khi đó ADBC là hình bình hành:

Do AD//BC nên ta có:

Vậy .

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ là một số dương? Là một số âm?

Giải chi tiết:

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ không là một số dương khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ không là một số âm khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

Bài 2: Khi nào thì ?

Giải chi tiết:

Ta có: .

Nên thì , hay là cùng phương.

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính theo a, b, c.

Giải chi tiết:

Theo định lí cô sin, ta có:

Từ đó:

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 1 : Cho hai vectơ cùng phương và . Hãy kiểm tra công thức theo từng trường hợp sau:

a) =

b) ≠ và

c) ≠ và .

Giải chi tiết:

a) = nên .

Do =

Lại có: .

Vậy .

b) Vì nên hai vectơ cùng hướng

Ta có:

.

Vậy .

c) Vì nên hai vectơ ngược hướng

Ta có:

.

Vậy .

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ không cùng phương và

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho .

b) Tính theo tọa độ của A và B.

c) Tính theo tọa độ của A, B.

Giải chi tiết:

a) Tọa độ các điểm là và .

b) ;

;

.

c) Ta có: .

Bài 3: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ .

Giải chi tiết:

.

.

.

Bài 4 : Cho ba vectơ ₁; y₁) , ₂; y₂), ₃; y₃).

a) Tính theo tọa độ của các vectơ .

b) So sánh .

c) So sánh và .

Giải chi tiết:

a) = .

= .

= = .

b) = .

c) =.

=.

Suy ra: = .

Bài 5: Cho tam giác với . Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng .

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Giải chi tiết:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

Suy ra: .

b) Gọi tọa độ điểm .

;

;

;

.

Ta có: nên:

Vậy H(6; 2).

c) .

.
.
.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

.

Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:

.

Bài 6: Một lực không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực được phân tích thành hai lực thành phần là và ( + ).

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực và (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và .

b) Giả sử các lực thành phần và . tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực .

Giải chi tiết:

a) Công sinh bởi lực bằng: (1).

Công sinh bởi lực bằng (2).

Công sinh bởi lực bằng: (3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực và .

b) Vì có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực bằng . Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực bằng:

.

Do đó công sinh bởi lực bằng công sinh bởi lực .

BÀI TẬP

Bài 4.21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) , .

b) , .

c) = (;1), = (2;).

Giải chi tiết:

a) Ta có : . Suy ra

b) Từ giả thiết suy ra và .

Suy ra và do đó .

c) Từ giả thiết suy ra và .

Suy ra và do đó .

Bài 4.22: Tìm điều kiện của , để:

a) ;

b) ;

Giải chi tiết:

a) tức là hai vectơ và cùng hướng.

b) tức là hai vectơ và ngược hướng.

Bài 4.23: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm . Gọi là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính theo.

b) Tìm để .

Giải chi tiết:

a) và .

.

b) ⇒ Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BM.

⇒ .

Hay là: ⇒ và .

Bài 4.24: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm không thẳng hàng

a) Giải tam giác .

b) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác .

Giải chi tiết:

a) Từ giả thiết suy ra: và .

Suy ra:

.

.

.

Do đó: ; .

b) Gọi là trực tâm của tam giác .

Khi đó, do nên

Ta có: và .

Từ đó và (I) ta có hệ phương trình .

Giải hệ thu được .

Bài 4.25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

Giải chi tiết:

Do nên :

.

Suy ra .

Bài 4.26: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: .

Giải chi tiết:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên .

Ta có:

=

=

=

Suy ra: .