A.TRẮC NGHIỆM

Bài 4.27: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. =(2;3) và (12;6).

B. =(;6) và = (1;).

C. (0;1) và (1;0).

D.(1;3) và (2;-6).

Giải chi tiết:

Đáp án B.

Bài 4.28: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. =(2;3) và (4;6).

B. =(1;-1) và = (-1;).

C. (a;b) và (-b;a).

D.(1;1) và (2;0).

Giải chi tiết:

Đáp án C.

Bài 4.29: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. =(1;1) B. = (1;).

C.=(2;) D. = ( ).

Giải chi tiết:

Đáp án D.

Bài 4.30 : Góc giữa vectơ =(-1;1) và = (-2;) có số đo bằng:

A. 90⁰ B. 0⁰ C. 135⁰ D. 45⁰

Giải chi tiết:

Đáp án C.

Bài 4.31: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải chi tiết:

Đáp án D.

Bài 4.32: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải chi tiết:

Đáp án B.

B. TỰ LUẬN

Bài 4.33: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ và .

b) Biểu thị vectơ theo hai vectơ và .

Giải chi tiết:

a) Do MB = 3MC, M nằm trên cạnh BC nên hai vectơ và ngược hướng nhau nên ta có: .

b) Theo a ta có:

.

Bài 4.34: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

.

Giải chi tiết:

Ta có: .

Mà (do ABCD là hình bình hành)

.

Vậy .

Bài 4.35: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2; 5) và C(-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Giải chi tiết:

a) và .

b) .

;

;

.

Xét tam giác ABC có: ,

⇒

⇒ Tam giác ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo), ta có:

Diện tích: ;

Chu vi: .

c) Tọa độ trọng tâm G là:

Vậy G .

d) Gọi là đỉnh của hình bình hành BCAD.

Tứ giác BCAD là hình bình hành khi và chỉ khi .

Ta có: và

Suy ra ⇒ .

Vậy D(5; 4).

Bài 4.36: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2) và D(6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ và .

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ và cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ Tìm a để các vectơ và cùng phương.

d) Với tìm được, hãy biểu thị vectơ theo các vectơ

Giải chi tiết:

a) và .

b) Do nên và cùng phương.

c) ,

Để và cùng phương thì ⇒

d)

Đặt , với x và y là các số thực.

⇒

⇒

Vậy .

Bài 4.37: Cho vectơ ≠ . Chứng minh rằng (hay còn được viết là ) là một vecto đơn vị, cùng hướng với vectơ

Giải chi tiết:

Vectơ có độ dài bằng . Từ đó, do , suy ra là vectơ đơn vị, cùng hướng với .

Bài 4.38: Cho ba vectơ với = và . Xét một hệ trục với các vectơ đơn vị Chứng minh rằng:

a) Vectơ có tọa độ là .

b) .

Giải chi tiết:

a) Từ giả thiết suy ra .

Gọi là tọa độ của vectơ . Khi đó .

Suy ra có tọa độ là .

b) Do có tọa độ là nên . Nhưng và nên suy ra .

Bài 4.39: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15^oE với vận tốc có độ bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Giải chi tiết:

Ta sử dụng vectơ để biểu thị cho vận tốc riêng của ca nô, vectơ để biểu thị cho vận tốc của dòng nước và vectơ để biểu thị cho vận tốc thực tế của ca nô.

Khi đó, AC = 20, BC = 3. Hơn nữa, do ca nô chuyển động theo hướng nên .

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC ta được:

Suy ra .

Vậy vận tốc riêng của ca nô xấp xỉ bằng 19,44 km/h.