1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho vectơ ≠ và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho vuông góc với

Giải chi tiết:

Tập hợp những điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với với giá của .

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng Δ đi qua điểm A(x_o;y_o) và có vectơ pháp tuyển (a;b). Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc Δ khi và chỉ khi

a(x−x₀)+b(y−y₀)=0

Giải chi tiết:

Xét tích

hay có giá trùng với đường thẳng

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Giải chi tiết:

Đường cao AH đi qua điểm A(-1;5) có một vectơ pháp tuyến là .

Phương trình tổng quát của AH là:

Bài 4: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: y = 3x + 4.

Giải chi tiết:

Ta có:

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

2.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vecto vận tốc bằng và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?

Giải chi tiết:

Vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng thì nó sẽ di chuyển trên đường thẳng .

Bài 2: Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ: 2x - y +1 = 0

Giải chi tiết:

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng là

Bài 3: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc (3;4).

a. Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b. Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2+3t; 1 +4t).

Giải chi tiết:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng qua A(2;1) và có vectơ chỉ phương .

b) Giả sử tại thời điểm t, vật thể ở vị trí . Khi đó tức là:

Vậy

Bài 4: Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.

Giải chi tiết:

Ta có:

Vì

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(2;-3) và có vectơ chỉ phương là:

.

Bài 5: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x₁;y₁),B(x₂;y₂) cho trước.

Giải chi tiết:

Ta có:

Phương trình tham số của đường thẳng AB:

Vì

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB:

Bài 6: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau:

• Nước đóng băng ở 0^oC, 32^oF;

• Nước sôi ở 100^oC, 212^oF.

Trong quy đổi đó, nếu a^oC tương ứng với b^oF thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0^oF, 100^oF tương ứng với bao nhiêu độ C?

Giải chi tiết:

Ta có:

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(0;32) và có là:

Khi ta có:

Khi ta có:

Vậy , tương ứng xấp xỉ

BÀI TẬP

Bài 7.1: Trong mặt phẳng tọa độ cho =(2;1),=(3;2),A(1;3),B(−2;1)

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến .

b. Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương .

c. Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Giải chi tiết:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là:

b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương là:

c) Ta có:

Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua và có vectơ chỉ phương là:

Bài 7.2: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.

Giải chi tiết:

+ Trục Ox đi qua O(0;0) và nhận là vectơ pháp tuyến, phương trình của Ox là:

+ Trục Oy đi qua O(0;0) và nhận là vectơ pháp tuyến, phương trình của Oy là:.

Bài 7.3: Cho hai đường thẳng và Δ₂ : 2x + 3y - 5 = 0.

a. Lập phương trình tổng quát của

b. Lập phương trình tham số của

Giải chi tiết:

a)

Phương trình tổng quát của đi qua M(1;3) và có vectơ pháp tuyến là:

b)

Phương trình tham số của đi qua M(1;1) và có vectơ pháp tuyến là:

Bài 7.4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1).

a. Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b. Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Giải chi tiết:

a) Ta có

Phương trình tổng quát của đường cao AH đi qua A(1;2) và có vectơ pháp tuyến là:

b) Gọi M là trung điểm AC

Phương trình tham số của trung tuyến BM đi qua B(3;0) nhận vectơ là vectơ chỉ phương là:

Bài 7.5: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là:

Giải chi tiết:

Gọi d là đường thẳng qua hai điểm A(a;0) và B(0;b). Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(a;0) và có vectơ pháp tuyến là:

Bài 7.6: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2^o Bắc, kinh độ 105,8^o Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1^o Bắc, kinh độ 108,2^o Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x^o Bắc, kinh độ y^o Đông được tính theo công thức

a. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b. Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17^o Bắc) chưa?

Giải chi tiết:

a) Máy bay đến sân bay Đà Nẵng ứng với t giờ thoả mãn

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất giờ.

b) Tại thời điểm t=1 giờ, ta có (vĩ độ Bắc).

Vậy tại thời điểm 1 giờ sau khi cất cánh, máy bay ở vị trí có vĩ độ Bắc nên máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17.