1.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

Δ₁: x - 2y + 3 = 0,

Δ₂: 3x - y - 1 = 0.

a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b. Giải hệ

c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Giải chi tiết:

a) Thay vào phương trình đường thẳng ta được:

(đúng)

Thay vào phương trình đường thẳng ta được:

(đúng)

Vậy điểm thuộc cả hai đường thẳng trên.

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

c) Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình trên.

Bài 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) và

b) và

Giải chi tiết:

a) Ta có: , do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng và cắt nhau.

b) Ta có: , do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương và song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm thuộc nhưng không thuộc

Vậy hai đường thẳng và song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Giải chi tiết:

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Bài 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau và tương ứng có các vectơ pháp tuyến ,. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a. góc và

b. và

Giải chi tiết:

a)

b)

Bài 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: Δ₁: x + 3y + 2 = 0 và Δ₂: y = 3x + 1.

Giải chi tiết:

Ta có:

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có:

Bài 4: Tính góc giữa hai đường thẳng: và .

Giải chi tiết:

Ta có: và

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và .

Ta có: .

Bài 5: Cho đường thẳng Δ: y = ax + b, với a ≠ 0.

a. Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành.

b. Lập phương trình đường thẳng đi qua O(0;0) và song song (hoặc trùng) với Δ.

c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa và .

d. Gọi M là giao điểm của với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ M theo x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng .

Giải chi tiết:

a) Cho

luôn cắt trục hoành tại điểm có toạ độ

b) Vì đường thẳng đi qua điểm O(0;0) nên có dạng: .

Mà song song hoặc trùng với nên

Vậy đường thẳng

c) Do đường thẳng song song với Δ nên . (hai góc ở vị trí đồng vị).

d) Gọi tọa độ điểm

Do thuộc nên

Có

Vậy .

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1 : Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến (a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ.

a. Chứng minh rằng:

b. Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

c. Chứng minh rằng HM =

Giải chi tiết:

a) Do và có cùng phương nên hoặc

b)

Ta có:

Mà nên ta có:

Vậy

c) Từ câu a và câu b ta có:

Suy ra

Bài 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Giải chi tiết:

- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là độ dài đoạn MH bằng 2 đơn vị độ dài.

- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng

Giải chi tiết:

Ta có:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua có vectơ pháp tuyến là : hay

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến ta có:

Vậy khoảng cách từ M đến là 1.

Bài 4: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Giải chi tiết:

a) Tọa độ các điểm:

Đường thẳng có vecto chỉ phương

Chọn vectơ pháp tuyến là: )

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là:

hay .

b) Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.

Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là:

Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.

BÀI TẬP

Bài 7.7: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) và

b) và

c) và

Giải chi tiết:

a) Xét hệ phương trình:

⇔

Hệ có vô số nghiệm

b) Xét hệ phương trình:

⇔ ⇔

Hệ vô nghiệm

c) Xét hệ phương trình:

⇔ ⇔

Hệ có 1 nghiệm duy nhất cắt nhau.

Bài 7.8: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) và

b) và

Giải chi tiết:

a) và

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và .

Ta có:

b) và

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và .

Ta có:

Bài 7.9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ;-2) và đường thẳng Δ: x + y - 4 = 0.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ

b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với Δ.

c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với Δ.

Giải chi tiết:

a)

Khoảng cách từ đến là:

b) Đường thẳng song song với

Phương trình đường thẳng đi qua và có là:

c) Đường thẳng vuông góc với

Phương trình đường thẳng đi qua và có là:

Bài 7.10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A (1; 0), B (3; 2) và C (-2; 1).

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải chi tiết:

a) Ta có:

Phương trình đường thẳng BC đi qua B(3;2) có là:

Độ dài đường cao AH của tam giác ABC hạ từ đỉnh A là:

b) Ta có:

Diện tích tam giác ABC là:

Bài 7.11: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Giải chi tiết:

Bài 7.12: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Giải chi tiết:

Gọi J là vị trí âm thanh phát đi. Ta có J cách đều O, A, B. Do đó J là giao của hai đường thẳng trung trực tương ứng của OA, OB.

Phương trình của đi qua là trung điểm OA và có là:

Phương trình của đi qua là trung điểm AB và có là:

.