1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Giải chi tiết:

Điểm thuộc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách .

Hay:

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)² +(y - 4)² = 7.

Giải chi tiết:

Tâm , bán kính

Bài 3: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x² + y² - 2x + 4y - 1 = 0

b. x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0

c. x² + y² + 6x - 4y + 2 = 0

Giải chi tiết:

a) Ta có:

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(1;-2) và có bán kính

b) Phương trình đã cho không là phương trình đường tròn vì

c) Ta có:

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(-3;2) và có bán kính

Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8).

Giải chi tiết:

Gọi điểm là tâm của đường tròn (C), ta có:

Ta có:

Vì nên ta có hệ phương trình :

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

Bài 5: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π=3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Giải chi tiết:

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là . Khi đó, tổng chu vi ba bể là khi và chỉ khi

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S . Khi đó

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): có tâm O(0;0), bán kính và đường thẳng . Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Ta có:

Mà

Dấu “=” xảy ra khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C).

Vậy bán kính của bể nhỏ nhất cần tìm là

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 25 và điểm M(4; -2).

a. Chứng minh điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C).

b. Xác định tâm và bán kính của (C).

c. Gọi Δ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ. Từ đó, viết phương trình đường thẳng Δ.

Giải chi tiết:

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn ta có:

(đúng)

Vậy M thuộc đường tròn (C).

b)

có tâm , bán kính

c) Do là một vectơ pháp tuyến của

Phương trình tổng quát của là:

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm N(1; 0).

Giải chi tiết:

Do , nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm . Tiếp tuyến của (C) tại N có vectơ pháp tuyến là

Phương trình tiếp tuyến là: hay

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình x² + y² =25.Khi tới vị trí M(3;4) thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào ?

Giải chi tiết:

Khi tới vị trí M(3;4), vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó bay theo hướng tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M. Do đó d đi qua điểm M và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của d là:

BÀI TẬP

Bài 7.13: Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn: (x + 3)² + (y - 3)² = 36.

Giải chi tiết:

Ta có:

Tâm , bán kính

Bài 7.14: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x² + y² + xy + 4x - 2 = 0

b. x² + y² – 2x – 4y + 5 = 0

c. x² + y² + 6x - 8y + 1 = 0

Giải chi tiết:

a) không phải là phương trình đường tròn do không đúng với dạng tổng quát của phương trình đường tròn.

b)

Ta có:

Xét:

⇒ Phương trình trên không là phương trình đường tròn.

c)

Ta có:

Xét: .

⇒ Phương trình trên là phương trình đường tròn, có tâm và bán kính

Bài 7.15: Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a. Có tâm I(-2; 5) và bán kính R = 7.

b. Có tâm I(1; -2) và đi qua điểm A(-2; 2).

c. Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5).

d. Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Giải chi tiết:

a) Phương trình đường tròn có tâm và bán kính là:

b)

Phương trình đường tròn là:

c) Vì AB là đường kính của (C) nên (C) có tâm I là trung điểm của AB và có bán kính . Ta có:

Vậy phương trình của đường tròn (C) là:

d) Gọi (C) là đường tròn có tâm I(1;3) và tiếp xúc với đường thẳng .

Bán kính của đường tròn (C) là .

Vậy phương trình của đường tròn (C) là:

Bài 7.16: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giải chi tiết:

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I cách đều 3 đỉnh A, B, C. Hay

Vì , nên ta có hệ phương trình:

⇒ Đường tròn có tâm

Vậy phương trình của đường tròn (C) là:

Bài 7.17: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x - 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).

Giải chi tiết:

Do , nên M thuộc đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm . Tiếp tuyến của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là nên phương trình là:

hay .

Bài 7.18: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0≤t≤180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sin t^o; 4 + cost^o).

a. Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b. Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Giải chi tiết:

a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm , nên tọa độ của điểm là:

Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm , nên tọa độ của điểm là:

b) Gọi điểm thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Ta có: và

và

Mà

Nên

Vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm , bán kính bằng 1 và nhận AB làm đường kính.

Khi t thay đổi trên đoạn thì thay đổi trên đoạn và thay đổi trên đoạn . Do đó và .

Vậy quỹ đạo của vật thể (hay tập hợp điểm M) là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm , bờ AB.