1. ELIP

Bài 1: Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ tren một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín.

a. Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b. Trong quá trinh đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂ có thay đổi không? Vì sao?

Giải chi tiết:

a) Đường nhận được liên hệ với hình 7.17b.

b) Tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F₁, F₂ không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Giải chi tiết:

Xét tam giác có: (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Bài 3: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm. Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Giải chi tiết:

Ta có vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi lần lượt là và . Bi lăn từ đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến . Vậy quãng đường bi đi được là:

Theo tính chất hình elip thì , không đổi

Suy ra độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Bài 4: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , tia Ox trùng tia OF₂

a. Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi:

Giải chi tiết:

a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm: và

b) Giả sử M thuộc elip (E) ta chứng minh:

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên: hay

Giả sử ta chứng minh M thuộc elip (E). Thật vậy:

nên

⇒ M thuộc elip (E).

Bài 5: Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Giải chi tiết:

Có: . Vậy elip có hai tiêu điểm là và và tiệu cự là .

Bài 6: Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình .

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Giải chi tiết:

Ta có 75cm trên thực tế ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5 tọa độ

Mà M thuộc (E) nên:

nên

Vậy chiều cao của ô thoáng là:

.

2. HYPEBOL

Bài 1: Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁,F_2.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁- MF₂= 686 (m) hay không ?

Giải chi tiết:

a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm M.

Khi đó MF₁ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁ và MF₂ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₂.

Gọi t₁ là thời gian âm thanh phát từ M đến F₁, t₂ là thời gian âm thanh phát từ M đến F₂.

Thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây nên t₁ – t₂ = 2.

Vận tốc âm thanh là 343 m/s.

Khi đó ta có: MF₁ = 343t₁; MF₂ = 343t₂.

Suy ra: MF₁ – MF₂ = 343.t₁ – 343.t₂ = 343(t₁ – t₂) = 343. 2 = 686 (m).

Vậy mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁, F₂ là MF₁ – MF₂ = 686 (m).

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = 686 (m).

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Giải chi tiết:

Xét tam giác có: (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Giải chi tiết:

Do M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD và tính chất hình chữ nhật ABCD ta có: .

Vì

là hình bình hành

.

Tương tự

Ta chứng minh được là hình chữ nhật

.

Từ đó: (bất đẳng thức tam giác).

Vậy A,B,C,D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Bài 4: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , .Tia Ox trùng với tia OF₂.Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁,F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

Giải chi tiết:

a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm: và

b) Giả sử M thuộc hypebol (H) ta chứng minh:

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên:

Giả sử ta chứng minh M thuộc hypebol (H). Thật vậy:

nên

⇒ M thuộc hypebol (H).

Bài 5 : Cho (H):. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Giải chi tiết:

Có: . Vậy hypebol có hai tiêu điểm là và và tiệu cự là

3. PARABOL

Bài 1: Cho parabol (P): y = . Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Giải chi tiết:

Ta có: ,

+ Giả sử , ta chứng minh M(x;y) thuộc (P). Thật vậy

Vậy M thuộc (P)

+ Giả sử M(x;y) thuộc (P), ta chứng minh

M thuộc hay thay vào biểu thức MF có:

Vậy

Bài 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27).

a. Nêu tọa độ của F và phương trình của Δ

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi

Giải chi tiết:

a) Do là trung điểm , mà (tham số tiêu của ) nên tọa độ của là: .

Đường thẳng Δ đi qua và vuông góc với trục nên có phương trình:

b) Ta có:

+ Giả sử M thuộc (P), ta chứng minh

Thật vậy: M thuộc

+ Giả sử

Ta chứng minh M thuộc (P). Thật vậy:

Vậy M thuộc (P).

Bài 3: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo. Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Giải chi tiết:

Trong mô hình này, ta có: ( là bán kính đảo).

Gọi là đường bờ biển. Gọi là đường thẳng nằm tròn đất liền, song song với d, cách d một khoảng . Ta có:

Vậy tập hợp các điểm thuộc đường parabol có tiêu điểm là , đường chuẩn là . Vậy đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

Bài 1: Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Giải chi tiết:

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự.

Ta có: , nên tiêu cự là .

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm.

BÀI TẬP

Bài 7.19: Cho elip có phương trình . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Giải chi tiết:

Ta có: ,

Tiêu điểm và

Tiêu cự

Bài 7.20: Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Giải chi tiết:

Ta có: ,

Tiêu điểm và

Tiêu cự

Bài 7.21: Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Giải chi tiết:

Ta có: nên .

Tiêu điểm và đường chuẩn .

Bài 7.22: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0).

Giải chi tiết:

Elip (E) có dạng với a>b>0

+ (E) đi qua A(5;0) nên

+ (E) đi qua (3;0) nên

Vậy phương trình chính tắc của (E):

Bài 7.23: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Giải chi tiết:

Phương trình parabol có dạng: .

đi qua nên

⇒

Vậy phương trình .

Bài 7.24: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB.

Nên tọa độ hai điểm là: và

Khi đó vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có:

.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol có dạng:

với a, b > 0.

Do .

Do hai tiêu điểm là: và nên

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là:

Bài 7.25 : Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B.

a. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).

a) Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điềm là: và thuộc vào parabol có dạng

Thay tọa độ điểm A và ta có:

Vậy parabol có dạng:

b) Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điềm là: A(0,02; -0,2) và B(0,02; 0,2) thuộc vào parabol có dạng

Thay tọa độ điểm A và ta có:

Vậy parabol có dạng: .