Bài 1: Sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) được xây dựng như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);

• Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;

• Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Giải chi tiết:

Tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + c.d

Khai triển của tích (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + c.d

Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a+b).(c+d).

Bài 2: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a + b).(a + b).(a + b).

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Giải chi tiết:

1 tích bằng a³, 3 tích bằng a²b, 3 tích bằng ab², 1 tích bằng b³

Các hệ số nhận được 1, 3, 3, 1 trùng với các hệ số tương ứng của a³, a²b, ab², b³.

Bài 3: Sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)⁴ được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 2⁴ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x.y.z.t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a.a.b.a, thu gọn là a³b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a³b trong tổng là .

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

• a⁴

• a³b

• a²b²

• ab³

• b⁴

Giải chi tiết:

Để có đơn thức thì phải có 0 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: =1, hay có 1 đơn thức

Để có đơn thức thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: =4.

Để có đơn thức thì có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: = 6

Để có đơn thức thì có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: = 4.

Để có đơn thức thì phải có 4 nhân tử b và không có nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: =1, hay có 1 đơn thức

Bài 4: Khai triển (x - 2)⁴.

Giải chi tiết:

Bài 5: Khai triển (3x - 2)⁵.

Giải chi tiết:

(3x-2)⁵ = (3x)⁵ +5.(3x)⁴.(-2)+ 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5.(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

= 243x⁵ - 810x⁴ + 1080x³ - 720x² + 240x -32.

Bài 6:

a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.

b. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05⁴ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Giải chi tiết:

a. Khai triển: (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4.1³.0,05 + 6.1².0,05² + 4.1.0,05³ + 0,05⁴.

1,05⁴ 1⁴ + 4.1³.0,05 = 1,2

b. 1,05⁴ = 1,21550625

Sai số tuyệt đối là:

|1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.

BÀI TẬP

Bài 8.12 : Khai triển các đa thức:

a. (x -3)⁴

b. (3x - 2y)⁴

c. (x+5)⁴ + (x - 5)⁴

d. (x - 2y)⁵

Giải chi tiết:

a) .

b) .

c) .

d) .

Bài 8.13: Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x -1)⁵.

Giải chi tiết:

Số hạng chứa là:

Hệ số của trong khai triển của là .

Bài 8.14: Biểu diễn dưới dạng với a, b là các số nguyên.

Giải chi tiết:

Ta có .

Bài 8.15 : a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵

b. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02⁵và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Giải chi tiết:

a) Ta có .

b) Ta có .

Sai số tuyệt đối là:

Bài 8.16: Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.

a. Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là (nghìn người).

b. Với r = 1,5%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)⁵ hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Giải chi tiết:

a) Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là:

(nghìn người).

Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là :

(nghìn người).

Suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là :

b) Ta có: .

Vậy số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là khoảng: (nghìn người).