1. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP

Bài 1: Theo định nghĩa cổ điển của xác suất để tính xác suất của biến cố F: "Bạn An trúng giải độc đắc" và biến cố G: "Bạn An trúng giải nhất" ta cần xác định n(Ω), n(F) và n(G). Liệu có thể tính n(Ω), n(F) và n(G) bằng cách liệt kê ra hết các phần tử của Ω, F và G rồi kiểm đếm được không.

Giải chi tiết:

Ta có thể liệt kê hết các phần tử, tuy nhiên việc liệt kê sẽ dài và mất nhiều thời gian.

Bài 2: Một tổ trong lớp 10B có 12 học sinh, trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ để kiếm tra vở bài tập Toán. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ bằng số học sinh nam.

Giải chi tiết:

Không gian mẫu: = 924.

Biến cố A: "6 học sinh được chọn số học sinh nữ bằng số học sinh nam".

Để số học sinh nữ bằng số học sinh nam thì chọn 3 nữ và 3 nam.

n(A) =

Vậy P(A) = .

2. SỬ DỤNG SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Bài 1: Trong trò chơi "Vòng quay may mắn", người chơi sẽ quay hai bánh xe. Mũi tên ở bánh xe thứ nhất có thể dừng ở một trong hai vị trí: Loại xe 50 cc và Loại xe 110 cc. Mũi tên ở bánh xe thứ hai có thể dừng ở một trong bốn vị trí: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh. Vị trí của mũi tên trên hai bánh xe sẽ xác định người chơi nhận được loại xe nào, màu gì.

Phép thử T là quay hai bánh xe. Hãy vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

Giải chi tiết:

Bài 2: Trở lại trò chơi "Vòng quay may mắn" ở HĐ2. Tính xác suất để người chơi nhận được loại xe 110 cc có màu trắng hoặc màu xanh.

Giải chi tiết:

Theo như sơ đồ cây ở HĐ2 có = 8.

Biến cố A: "Người chơi nhận được loại xe 110 cc có màu trắng hoặc màu xanh"

Có n(A) = 2. Vậy P(A) = .

Bài 3: Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm giới tính của ba người con này.

a. Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b. Giả thiết rằng khả năng sinh con trai và khả năng sinh con gái là như nhau. Tính xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái.

Giải chi tiết:

a)

b) Vậy = 8.

Gọi biến cố A: " Gia đình đó có một con trai và hai con gái".

A = {GTG; TGG; GGT} (với G là viết tắt của gái, T là viết tắt của trai).

n(A) = 3.

Vậy P(A) = .

3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI

Bài 1: Cho E là biến cố và Ω là không gian mẫu. Tính n() theo n(Ω) và n(E).

Giải chi tiết:

.

Bài 2: Có ba hộp A, B, C. Hộp A có chứa ba thẻ mang số 1, số 2, số 3. Hộp B chứa hai thẻ mang số 2 và số 3. Hộp C chứa hai thẻ mang số 1 và số 2. Từ mỗi hộp ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ.

a. Vẽ sơ đồ cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b. Gọi M là biến cố: "Trong ba thẻ rút ra có ít nhất một thẻ số 1". Biến cố là tập con nào của không gian mẫu?

c. Tính P(M) và P().

Giải chi tiết:

a)

Từ sơ đồ hình cây ta có:
Vậy .
b) Biến cố đối : "Trong ba thẻ rút ra không có thẻ số .
Do đó .
c) .

Suy ra .

Bài 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải chi tiết:

Ta có: = .

+ Biến cố F: "Bạn An trúng giải độc đắc".

F là tập hợp có duy nhất một phần tử là tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

n(F) = 1.

Vậy P(F) = .

+ Biến cố G: "Bạn An trúng giải nhất".

Mỗi phần tử của G được hình thành từ hai công đoạn.

Công đoạn 1: Chọn 5 phần tử trong tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có (cách chọn).

Công đoạn 2: Chọn 1 phần tử còn lại trong 39 phần tử không thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có (cách chọn).

Suy ra: n(G) = 6. 39 = 234 (phần tử).

Vậy P(G) = .

BÀI TẬP

Bài 9.6: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba con và quan sát giới tính của ba người con này. Tính xác suất của các biến cố sau:

a. A: "Con đầu là gái";

b. B: "Có ít nhất một người con trai".

Giải chi tiết:

Ta có TGT; TTG; TTT; TGG; GGT; GTG; GTT; GGG }
a) . Từ đó .
b) TGT; TTG; TTT; TGG; GGT; GTG; GTT .

Bài 9.7: Một hộp đựng các tấm thẻ đánh số 10; 11; ....; 20. Rút ngẫu nhiên từ hộp hai tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:

a. C: "Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ";

b. D: "Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn".

Giải chi tiết:

.

a) Số phần tử của là số cách chọn 2 phần tử từ tập hợp gồm 5 số lẻ .

Vậy .

b) Số phần tử của là số cách chọn 2 phân tử từ tập hợp gồm 6 số chẵn , .

Vậy .

Bài 9.8: Một chiếc hộp đựng 6 viên bi trắng, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất để trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen.

Giải chi tiết:

.

Gọi là biến cố: "Trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen".

Có cách chọn 3 viên bi trắng từ 6 viên bi trắng;

cách chọn 2 viên bi đỏ từ 4 viên bi đỏ;

= 2 cách chọn 1 viên bi đen từ 2 viên bi đen.

Theo quy tắc nhân, .

Vậy .

Bài 9.9: Gieo liên tiếp một con xúc xắc và một đồng xu.

a. Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b. Tính xác suất của các biến cố sau:

F: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa";

G: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5".

Giải chi tiết:

a)

b) Từ sơ đồ hình cây

.

.

Vậy .

.

Vậy P(G) = .

Bài 9.10: Trên một phố có hai quán ăn X, Y. Ba bạn Sơn, Hải, Văn mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn.

a. Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b. Tính xác suất của biến cố "Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y".

Giải chi tiết:

a.

n(Ω)= 8.

b. Biến cố A: "Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: {XXY; XYX; YXX}

⇒ n(A) = 3

⇒ P(A) =

Bài 9.11: Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

Giải chi tiết:

Không gian mẫu . Vậy .

Gọi là biến cố: "Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".

Ta tính xác suất của biến cố đối : "Cả hai con xúc xắc đều không xuất hiện mặt 6 chấm".

. Có 5 cách chọn từ tập và có 5 cách chọn từ tập . Theo quy tắc nhân có cách chọn cặp thoả mãn .

Vậy . Từ đó: .

Suy ra .

Bài 9.12: Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là màu vàng và màu xanh tương ứng với hai loại gene là gene trội A và gene lặn a. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là hạt trơn và hạt nhăn tương ứng với hai loại gene là gene trội B và gene lặn b. Biết rằng, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ.

Phép thử là cho lai hai loại đậu Hà Lan, trong đó cả cây bố và cây mẹ đều có kiểu gene là (Aa,Bb) và kiểu hình là hạt màu vàng và trơn. Giả sử các kết quả có thể là đồng khả năng. Tính xác suất để cây con cũng có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn.

Giải chi tiết:

Ta vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các kết quả có thể của kiểu gene ứng với màu hạt của cây con là

Các kết quả có thể của kiểu gene ứng với màu hạt của cây con là 4 nhánh cây:

Tương tự các kết quả có thể của kiểu gene ứng với dạng hạt của cây con là 4 nhánh cây .

Ta liệt kê được tất cả các kết quả có thể của phép thử bằng cách vẽ bảng như sau:

Mỗi ô là một kết quả có thể về kiểu gene của cây con. Không gian mẫu là tập hợp 16 ô của bảng trên. Như vậy không gian mẫu của phép thử là

Kí hiệu là biến cố: "Cây con có hạt màu vàng và trơn".

Cây con có hạt màu vàng và trơn khi và chỉ khi trong kiểu gene màu hạt có ít nhất một gene trội và trong kiểu gene hình dạng hạt có ít nhất một gene trội .

Do đó .

Vậy .