II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

HĐ1. Trang 82 sgk toán 8 tập 1

Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).Sử dụng định lí Thales đảo, chứng minh rằng DE // BC.

Giải chi tiết:

Ta có AD = BD và D AB nên D là trung điểm của AB

AE = EC và E AC nên E là trung điểm của AC.

Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, theo định lí Thalès đảo, ta suy ra DE // BC (đpcm).

HĐ2. Trang 82 sgk toán 8 tập 1

Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15). Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DEFB là hình bình hành…

Giải chi tiết:

Vì DE là đường trung bình của tam giác ABC nên D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Suy ra AD = AB; AE = AC

Do đó DE // BC (theo định lí Thalès đảo).

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC.

Suy ra EC = AC; CF = BC

Do đó EF // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét tứ giác DEFB có DE // BF (vì DE // BC); EF // BD (vì EF // AB)

Do đó tứ giác DEFB là hình bình hành.

Suy ra DE = BF mà BF = BC nên DE = BC.

Luyện tập. Trang 83 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?

Giải chi tiết:

Tam giác ABC cân tại A nên

Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.

III. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.6. Trang 83 sgk toán 8 tập 1

Tính các độ dài x, y trong Hình 4.18.

Giải chi tiết:

a) Ta có: DH = HF, H DF nên H là trung điểm của DF;

EK = KF, K EF nên K là trung điểm của EF.

Xét tam giác DEF có H, K lần lượt là trung điểm của DF, EF nên HK là đường trung bình của tam giác DEF.

Suy ra HK = DE =

Do đó x = 2HK = 2 . 3 = 6.

b) Vì MN AB, AC AB nên MN // AC.

Mà M là trung điểm của BC (vì AM = BM = 3)

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó y = NC = BN = 5.

Vậy x = 6; y = 5.

Bài 4.7. Trang 83 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang

b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

Giải chi tiết:

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra MN // BC hay MN // BP.

Tứ giác BMNC có MN // BP nên tứ giác BMNC là hình thang (đpcm).

b) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra NP // AB hay NP // MB.

Tứ giác MNPB có MN // BP; BM // NP (cmt).

Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành.

Bài 4.8. Trang 83 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy hai điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E

a) Chứng minh DC // EM

b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm AM

Giải chi tiết:

a) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Ta có BE = DE và E ∈ BD nên E là trung điểm của BD.

Xét tam giác BCD có E, M lần lượt là trung điểm của BD, BC nên EM là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó DC // EM (tính chất đường trung bình).

b) Ta có D là trung điểm của AE (vì AD = DE, D ∈ AE).

Mà DI // EM (vì DC // EM).

Do đó DI là đường trung bình của tam giác AEM.

Suy ra I là trung điểm của AM.

Bài 4.9. Trang 83 sgk toán 8 tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Giải chi tiết:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra AB AD; O là trung điểm của AC và BD.

Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra OH // AD OH // AK

Tương tự, ta chứng minh được: OK // AB OK // AH

Tứ giác AHOK có OH // AK, OK // AH nên AHOK là hình bình hành

Lại có

Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.