BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

HĐ 1:

a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ đến là

b) Khi càng gần , tức là càng nhỏ, thì tỉ số càng thể hiện chính xác mức độ nhanh chậm tại thời điểm t₀.

Giới hạn cho ta biết vận tốc tức thời của vật tại thời điểm

b) Cường độ tức thời

HĐ 2:

a) Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ đến là .

b) Khi càng gần , tức là càng nhỏ thì cường độ trung bình càng thể hiện được chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm

Giới hạn cho ta biết cường độ tức thời của vật tại thời điểm

Nhận xét:

Nhiều bài toán đưa đến việc tìm giới hạn dạng

( là một hàm số đã cho).

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số xác định trên khoàng và điểm Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm , kí hiệu bởi (hoặc , tức là

Chú ý:

- Các bước: tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1. Tính .

2. Lập và rút gọn tỉ số với .

3. Tìm giới hạn .

Ví dụ 1 (SGK -tr.82)

Chú ý:

Đặt , khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm là:

Luyện tập 1:

Vậy

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

HĐ 3:

.

Kết luận:
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó, kí hiệu là .

Chú ý

.

Nếu phương trình chuyển động của vật là thì là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm

Luyện tập 2

a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số

b) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số (với là các hằng số) có đạo hàm là hàm số

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

HĐ 4: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) Hệ số góc của cát tuyến PQ là
b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm và khi hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm di chuyển trên tới điểm mà có giới hạn hữu hạn thì cát tuyến cũng sẽ tiến đến gần vị trí đường thẳng

Kết luận

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đường thẳng đi qua P với hệ số góc nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là . Điểm P gọi là tiếp điểm.

Nhận xét:

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đạo hàm .

Luyện tập 3

Ta có nên . Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là .

b) Phương trình tiếp tuyến

HĐ 5:

a) Ta có nên .

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là

b) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc có dạng

Vậy phương trình tiếp tuyến là

Kết luận:

- Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là , trong đó .

Luyện tập 4:

Ta có nên .
Ngoài ra, nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Vận dụng

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho là trung điểm , tia trùng với tia , tia Oy hướng lên trên.

Khi đó . Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h , suy ra đỉnh cầu có tọa độ .

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là
Ta có . Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là .

Do đó
độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là .